Jak znaleźć obszar wielokąta 12-stronnego

Zawartość

• Obliczanie powierzchni regularnego wielokąta 12-stronnego
• Znalezienie obszaru nieregularnego dwunastokąta

Wielokąt to dowolna zamknięta dwuwymiarowa figura z 3 lub więcej prostymi (nie zakrzywionymi) bokami, a 12-stronny wielokąt jest znany jako dwunastokąt. Zwykły dwunastokąt ma równe boki i kąty i możliwe jest wyprowadzenie wzoru na obliczenie jego powierzchni. Nieregularny dwunastokąt ma boki o różnych długościach i różnych kątach. Sześcioramienna gwiazda jest przykładem. Nie ma łatwego sposobu na obliczenie pola nieregularnej 12-stronnej figury, chyba że zostanie to narysowane na wykresie i nie będzie można odczytać współrzędnych każdego z wierzchołków. Jeśli nie, najlepszą strategią jest podzielenie postaci na regularne kształty, dla których można obliczyć powierzchnię.

Obliczanie powierzchni regularnego wielokąta 12-stronnego

Aby obliczyć powierzchnię zwykłego dwunastokąta, musisz znaleźć jego środek, a najlepszym sposobem na to jest narysowanie koła wokół niego, które tylko dotyka każdego z jego wierzchołków. Środek koła jest środkiem dwunastokąta, a odległość od środka figury do każdego z jej wierzchołków jest po prostu promieniem koła (r). Każda z 12 stron figury ma tę samą długość, więc oznacz to jako s.

Potrzebujesz jeszcze jednego pomiaru, a mianowicie długości linii prostopadłej narysowanej od punktu środkowego każdej strony do środka 12-stronnego kształtu. Ta linia jest znana jako apothem. Oznacz jego długość przez m. Dzieli każdą sekcję utworzoną przez linie promienia na dwa trójkąty prostokątne. Nie wiesz m, ale można go znaleźć za pomocą twierdzenia Pitagorasa.

12 linii promienia dzieli okrąg, który zapisałeś wokół dwunastokąta, na 12 równych części, więc w środku figury kąt każdej linii z linią obok niej wynosi 30 stopni. Każdy z 12 odcinków utworzonych przez linie promienia składa się z pary trójkątów prostokątnych z przeciwprostokątną r i jeden kąt 15 stopni. Strona przylegająca do kąta to m, dzięki czemu można go znaleźć za pomocą ri sinusa kąta.

sin (15) = m/ri rozwiązać dla m

m = r × sin (15)

Teraz możesz znaleźć obszar każdego z trójkątów równoramiennych wpisanych w dwunastokąt, ponieważ znasz długość podstawy - która jest s - i wysokość, m. Obszar każdego trójkąta wynosi 1/2 × podstawa × wysokość

= 1/2 × s × m

= 1/2 × (s × r × sin (15))

Istnieje 12 takich sekcji, więc pomnóż przez 12, aby znaleźć całkowitą powierzchnię regularnego 12-stronnego kształtu:

Obszar zwykłego dwunastokąta = 6 × (s × r × sin (15))

Znalezienie obszaru nieregularnego dwunastokąta

Nie ma wzoru na znalezienie obszaru nieregularnego dwunastokąta, ponieważ długości boków i kąty nie są takie same. Trudno jest nawet wskazać centrum. Najlepszą strategią jest podzielenie postaci na regularne kształty, obliczenie powierzchni każdego z nich i dodanie ich.

Jeśli kształt jest narysowany na wykresie i znasz współrzędne wierzchołków, istnieje wzór, którego możesz użyć do obliczenia powierzchni. Jeśli każdy punkt (n) jest zdefiniowany przez (x_n, y_n), a następnie obchodzisz cyfrę w kolejności, zgodnie z ruchem wskazówek zegara lub przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, aby uzyskać serię 12 punktów, obszar jest następujący:

Obszar = | (x₁y₂ − y₁x₂) + (x₂y₃ − y₂x₃) ... + (x₁₁y₁₂ − y₁₁x₁₂) +(x₁₂y₁ − y₁₂x₁)| ÷ 2.