Jak obliczyć CG

Zawartość

• Jak pisać o środku ciężkości
• Jak obliczyć CG trójkąta
• Wzór na środek ciężkości dla prostokąta
• Centrum równania grawitacyjnego
• Sztuczki do znalezienia środka ciężkości

Przed omówieniem środka ciężkości załóżmy kilka parametrów. Po pierwsze, masz do czynienia z przedmiotem znajdującym się na powierzchni Ziemi, a nie gdzieś w kosmosie. I po drugie, że obiekt jest dość mały - powiedzmy, nie statek kosmiczny zaparkowany na Ziemi, czekający na start.Po wyeliminowaniu wszystkich wpływów pozaziemskich jesteś w dobrej pozycji, aby obliczyć środek ciężkości dla obiektów geometrycznych przy użyciu stosunkowo prostej formuły - w rzeczywistości, z powodu właśnie ustalonych warunków, zastosujesz tę samą formułę, aby znaleźć środek ciężkości, jak znaleźć środek masy.

Jak pisać o środku ciężkości

Środek ciężkości w płaszczyźnie dwuwymiarowej jest zwykle oznaczany przez współrzędne (x_cg, y_cg) lub czasem według zmiennych x i y z paskiem nad nimi. Ponadto termin „środek ciężkości” jest czasami skracany do cg.

Jak obliczyć CG trójkąta

W książce z matematyki lub fizyki często znajdują się wykresy określające środek równowagi niektórych postaci. Ale w przypadku niektórych popularnych kształtów geometrycznych można użyć odpowiedniego wzoru środka ciężkości, aby znaleźć środek ciężkości tych kształtów.

W przypadku trójkątów środek ciężkości znajduje się w punkcie przecięcia się wszystkich trzech median. Jeśli zaczniesz od jednego wierzchołka trójkąta, a następnie narysujesz linię prostą do punktu środkowego drugiej strony, będzie to jedna mediana. Zrób to samo dla pozostałych dwóch wierzchołków, a punktem przecięcia się wszystkich trzech środkowych jest środek ciężkości trójkątów.

I oczywiście istnieje na to formuła. Jeśli współrzędne środka ciężkości trójkątów wynoszą (x_cg, y_cg), znajdziesz zatem jego współrzędne:

x_cg = (x₁ + x₂ + x₃) ÷ 3

y_cg = (y₁ + y₂ + y₃) ÷ 3

Gdzie (x₁, y₁), (x₂, y₂) i (x₃, y₃) to współrzędne trójkątów trzech wierzchołków. Możesz wybrać, który wierzchołek ma przypisany numer.

Wzór na środek ciężkości dla prostokąta

Czy zauważyłeś, że aby znaleźć środek ciężkości trójkąta, po prostu uśredniasz wartość współrzędnych x, a następnie uśredniasz wartość współrzędnych y i używasz tych dwóch wyników jako współrzędnych środka ciężkości?

Aby znaleźć środek ciężkości prostokąta, robisz dokładnie to samo. Aby jednak ułatwić obliczenia, załóżmy, że prostokąt jest ustawiony prostopadle do kartezjańskiej płaszczyzny współrzędnych (więc nie jest ustawiony pod kątem) i że jego lewy dolny wierzchołek znajduje się na początku wykresu. W takim przypadku, aby znaleźć (x_cg, y_cg) dla prostokąta wystarczy obliczyć:

x_cg = szerokość ÷ 2

y_cg = wysokość ÷ 2

Jeśli nie chcesz przenosić prostokąta do początku płaszczyzny współrzędnych lub z jakiegokolwiek powodu nie jest on dokładnie kwadratowy względem osi współrzędnych, możesz zmierzyć się z tą nieco bardziej przerażającą, ale wciąż skuteczną formułą, aby uśrednić wszystkie współrzędne x znaleźć wartość x_cgi uśrednij wszystkie współrzędne y, aby znaleźć wartość y_cg:

x_cg = (x₁ + x₂ + x₃ + x₄) ÷ 4

y_cg = (y₁ + y₂ + y₃ + y₄) ÷ 4

Centrum równania grawitacyjnego

Co jeśli musisz obliczyć środek ciężkości dla kształtu, który pasuje do wszystkich wspomnianych wcześniej założeń (w zasadzie nie próbujesz robić literalnej nauki o rakietach, znajdując środek ciężkości dla obiektów w przestrzeni kosmicznej), ale nie wpada w żadne kategorie właśnie wymienione lub na wykresach z tyłu książki? Następnie możesz podzielić swój kształt na bardziej znane kształty i użyć następujących równań, aby znaleźć ich wspólny środek ciężkości:

x_cg = (a₁x₁ + a₂x₂ +. . . + a_nx_n) ÷ (a₁ + a₂ +. . . + a_n)

y_cg = (a₁y₁ + a₂y₂ +. . . + a_ny_n) ÷ (a₁ + a₂ +. . . + a_n)

Lub inaczej mówiąc, x_cg równa się powierzchni przekroju 1 razy jej położenie na osi x, dodawanej do obszaru przekroju 2 razy jego położenie i tak dalej, aż do momentu dodania pola razy położenie wszystkich przekrojów; następnie podziel całą tę kwotę przez całkowity obszar wszystkich sekcji. Następnie zrób to samo dla y.

P: Jak znaleźć obszar każdej sekcji? Dzielenie złożonego lub nieregularnego kształtu na bardziej znane wielokąty pozwala użyć znormalizowanych formuł do znalezienia obszaru. Na przykład, jeśli podzieliłeś ten kształt na kawałki prostokątne, możesz użyć formuły długość × szerokość, aby znaleźć obszar każdego elementu.

P: Jaka jest „lokalizacja” każdej sekcji? Położenie każdej sekcji jest odpowiednią współrzędną od środka ciężkości tej sekcji. Więc jeśli chcesz₂ (lokalizacja dla segmentu 2), faktycznie musisz podać współrzędną y dla środka ciężkości tych segmentów. Ponownie, dlatego dzielisz dziwnie ukształtowany obiekt na bardziej znane kształty, ponieważ możesz użyć omówionych wcześniej wzorów, aby znaleźć środek ciężkości każdego kształtu, a następnie wyodrębnić odpowiednie współrzędne.

P: Gdzie idzie mój kształt na płaszczyźnie współrzędnych? Możesz wybrać, gdzie twój kształt znajduje się na płaszczyźnie współrzędnych - pamiętaj tylko, że środek ciężkości odpowiedzi będzie w stosunku do tego samego punktu odniesienia. Najłatwiej jest umieścić obiekt w pierwszej ćwiartce wykresu, z jego dolną krawędzią w stosunku do osi x i lewą krawędzią w stosunku do osi y, tak aby wszystkie wartości x i y były dodatnie, ale także wystarczająco małe, aby mogły być posłuszny.

Sztuczki do znalezienia środka ciężkości

Jeśli masz do czynienia z jednym obiektem, intuicja i odrobina logiki są czasem wszystkim, czego potrzebujesz, aby znaleźć jego środek ciężkości. Na przykład, jeśli rozważasz płaski dysk, środkiem ciężkości będzie środek dysku. W cylindrze jest to punkt środkowy na osi cylindrów. W przypadku prostokąta (lub kwadratu) jest to punkt, w którym zbiegają się linie ukośne.

Być może zauważyłeś tutaj wzór: jeśli przedmiotowy przedmiot ma linię symetrii, środek ciężkości będzie na tej linii. A jeśli ma wiele osi symetrii, środek ciężkości będzie w miejscu przecięcia się tych osi.

Wreszcie, jeśli próbujesz znaleźć środek ciężkości dla naprawdę złożonego obiektu, masz dwie opcje: albo wyciągnij najlepsze całki z rachunku różniczkowego (patrz Zasoby dla potrójnej całki reprezentującej środek ciężkości dla niejednorodnej masy) lub wprowadź dane do specjalnego kalkulatora środka ciężkości. (Zobacz Zasoby, aby zapoznać się z przykładem kalkulatora środka ciężkości dla samolotów sterowanych radiowo).