Wykładniki ułamkowe: zasady mnożenia i dzielenia

Zawartość

• TL; DR (Too Long; Didnt Read)
• Jakie są wykładniki ułamkowe?
• Reguły wykładnika ułamkowego: Mnożenie wykładników ułamkowych z tej samej podstawy
• Reguły wykładników ułamkowych: Dzielenie wykładników ułamkowych z tą samą podstawą
• Mnożenie i dzielenie wykładników ułamkowych w różnych bazach

Nauka radzenia sobie z wykładnikami stanowi integralną część każdej edukacji matematycznej, ale na szczęście zasady pomnażania i dzielenia ich odpowiadają regułom wykładników niefrakcyjnych. Pierwszym krokiem do zrozumienia, jak radzić sobie z wykładnikami ułamkowymi, jest podsumowanie tego, czym dokładnie są, a następnie możesz spojrzeć na sposoby łączenia wykładników, gdy są pomnożone lub podzielone i mają tę samą bazę. W skrócie, dodajesz wykładniki razem podczas mnożenia i odejmujesz jeden od drugiego podczas dzielenia, pod warunkiem, że mają tę samą podstawę.

TL; DR (Too Long; Didnt Read)

Pomnóż warunki przez wykładniki, używając ogólnej zasady:

x^za + x^b = x^{(za + b)}

I dziel terminy z wykładnikami za pomocą reguły:

x^za ÷ x^b = x^{(za – b)}

Reguły te działają z dowolnym wyrażeniem zamiast za i b, nawet ułamki.

Jakie są wykładniki ułamkowe?

Wykładniki ułamkowe zapewniają zwarty i użyteczny sposób wyrażania pierwiastków kwadratowych, sześcianowych i wyższych. Mianownik wykładnika potwierdzi, jaki pierwiastek z liczby „podstawowej” reprezentuje dany termin. W terminach takich jak x^za, ty dzwonisz x baza i za wykładnik potęgi. Tak więc wykładnik ułamkowy mówi:

x^1/2 = √x

Mianownik dwóch wykładnika potwierdzi, że bierzesz pierwiastek kwadratowy z x w tym wyrażeniu. Ta sama podstawowa zasada dotyczy wyższych korzeni:

x^1/3 = ∛x

I

x^1/4 = ⁴.X

Ten wzór trwa. Konkretny przykład:

9^1/2 = √9 = 3

I

8^1/3 = ∛8 = 2

Reguły wykładnika ułamkowego: Mnożenie wykładników ułamkowych z tej samej podstawy

Pomnóż wyrażenia przez wykładniki ułamkowe (pod warunkiem, że mają tę samą podstawę), dodając wykładniki. Na przykład:

x^1/3 × x^1/3 × x^1/3 = x ^{(1/3 + 1/3 + 1/3)}

= x¹ = x

Od x^1/3 oznacza „pierwiastek kostki z x, ”Ma sens, że pomnożenie przez siebie dwukrotnie daje wynik x. Możesz również natknąć się na przykłady takie jak x^1/3 × x^1/3, ale postępujesz z nimi dokładnie w ten sam sposób:

x^1/3 × x^1/3 = x ^{(1/3 + 1/3)}

= x^2/3

Fakt, że wyrażenie na końcu nadal jest wykładnikiem ułamkowym, nie ma znaczenia dla całego procesu. Można to uprościć, jeśli to zauważysz x^2/3 = (x^1/3)² = ∛x². Przy takim wyrażeniu nie ma znaczenia, czy najpierw weźmiesz korzeń, czy moc. Ten przykład ilustruje sposób obliczania:

8^1/3 + 8^1/3 = 8^2/3

= ∛8²

Ponieważ pierwiastek sześcianu z 8 jest łatwy do opracowania, rozwiąż to w następujący sposób:

∛8² = 2² = 4

Oznacza to:

8^1/3 + 8^1/3 = 4

Możesz także spotkać się z iloczynami wykładników ułamkowych o różnych liczbach w mianownikach ułamków i możesz dodać te wykładniki w taki sam sposób, jak dodawać inne ułamki. Na przykład:

x^1/4 × x^1/2 = x^{(1/4 + 1/2)}

= x^{(1/4 + 2/4)}

= x^3/4

Są to wszystkie określone wyrażenia ogólnej reguły pomnożenia dwóch wyrażeń przez wykładniki:

x^za + x^b = x^{(za + b)}

Reguły wykładników ułamkowych: Dzielenie wykładników ułamkowych z tą samą podstawą

Staw czoła podziałom dwóch liczb za pomocą wykładników ułamkowych, odejmując wykładnik, który dzielisz (dzielnik), przez ten, który dzielisz (dywidenda). Na przykład:

x^1/2 ÷ x^1/2 = x^{(1/2 – 1/2)}

= x⁰ = 1

Ma to sens, ponieważ każda liczba podzielona przez siebie równa się jeden, a to zgadza się ze standardowym wynikiem, że dowolna liczba podniesiona do potęgi 0 jest równa jeden. Następny przykład wykorzystuje liczby jako podstawy i różne wykładniki:

16^1/2 ÷ 16^1/4 = 16^{(1/2 – 1/4)}

= 16^{(2/4 – 1/4)}

= 16^1/4

= 2

Które możesz zobaczyć, jeśli zauważysz, że 16^1/2 = 4 i 16^1/4 = 2.

Podobnie jak w przypadku mnożenia, możesz również otrzymać wykładniki ułamkowe, które mają liczbę inną niż jeden w liczniku, ale postępujesz z nimi w ten sam sposób.

Wyrażają one po prostu ogólną zasadę dzielenia wykładników:

x^za ÷ x^b = x^{(za – b)}

Mnożenie i dzielenie wykładników ułamkowych w różnych bazach

Jeśli podstawy warunków są różne, nie ma łatwego sposobu na pomnożenie lub podzielenie wykładników. W takich przypadkach wystarczy obliczyć wartość poszczególnych warunków, a następnie wykonać wymaganą operację. Jedynym wyjątkiem jest sytuacja, gdy wykładnik jest taki sam, w którym to przypadku można je pomnożyć lub podzielić w następujący sposób:

x⁴ × y⁴ = (xy)⁴

x⁴ ÷ y⁴ = (x ÷ y)⁴