Jak ustalić, czy relacja jest funkcją

Zawartość

• TL; DR (Too Long; Didnt Read)
• Reprezentacja matematyczna
• Określanie domeny
• Kiedy relacja nie jest funkcją?

W matematyce funkcja jest regułą, która odnosi każdy element w jednym zestawie, zwanym domeną, do dokładnie jednego elementu w innym zestawie, zwanym zakresem. Na osi x-y domena jest reprezentowana na osi x (oś pozioma), a dziedzina na osi y (oś pionowa). Reguła, która wiąże jeden element w domenie z więcej niż jednym elementem w zakresie, nie jest funkcją. To wymaganie oznacza, że ​​jeśli wykreślisz funkcję, nie możesz znaleźć pionowej linii przecinającej wykres w więcej niż jednym miejscu.

TL; DR (Too Long; Didnt Read)

Relacja jest funkcją tylko wtedy, gdy wiąże każdy element w swojej domenie tylko z jednym elementem w zakresie. Podczas rysowania funkcji linia pionowa przecina ją tylko w jednym punkcie.

Reprezentacja matematyczna

Matematycy zwykle reprezentują funkcje literami „f (x)”, chociaż inne litery działają równie dobrze. Czytasz litery jako „f z x”. Jeśli wybierzesz reprezentowanie funkcji jako g (y), odczytasz ją jako „g of y”. Równanie funkcji określa regułę, według której wartość wejściowa x jest przekształcana na inną liczbę. Istnieje nieskończona liczba sposobów, aby to zrobić. Oto trzy przykłady:

f (x) = 2x

g (y) = y² + 2y + 1

p (m) = 1 / √ (m - 3)

Określanie domeny

Zbiór liczb, dla których funkcja „działa”, jest domeną. Mogą to być wszystkie liczby lub określony zestaw liczb. Domeną mogą być również wszystkie liczby oprócz jednego lub dwóch, dla których funkcja nie działa. Na przykład domeną dla funkcji f (x) = 1 / (2-x) są wszystkie liczby oprócz 2, ponieważ po wprowadzeniu dwóch mianownik ma wartość 0, a wynik jest niezdefiniowany. Domena dla 1 / (4 - x²), z drugiej strony, wszystkie liczby oprócz +2 i -2, ponieważ kwadrat obu tych liczb wynosi 4.

Możesz także zidentyfikować domenę funkcji, patrząc na jej wykres. Zaczynając od skrajnej lewej i przechodząc w prawo, narysuj pionowe linie przez oś x. Domena to wszystkie wartości x, dla których linia przecina wykres.

Kiedy relacja nie jest funkcją?

Z definicji funkcja wiąże każdy element w domenie tylko z jednym elementem w zakresie. Oznacza to, że każda linia pionowa rysowana przez oś X może przecinać funkcję tylko w jednym punkcie. Działa to dla wszystkich równań liniowych i równań o większej mocy, w których tylko składnik x jest podniesiony do wykładnika wykładniczego. Nie zawsze działa dla równań, w których zarówno x, jak i y są podniesione do potęgi. Na przykład x² + y² = a² definiuje okrąg. Linia pionowa może przecinać okrąg w więcej niż jednym punkcie, więc to równanie nie jest funkcją.

Zasadniczo relacja f (x) = y jest funkcją tylko wtedy, gdy dla każdej wartości x, którą do niej podłączasz, otrzymujesz tylko jedną wartość dla y. Czasami jedynym sposobem na stwierdzenie, czy dana relacja jest funkcją, czy nie, jest wypróbowanie różnych wartości dla x, aby sprawdzić, czy dają unikalne wartości dla y.

Przykłady: Czy poniższe równania definiują funkcje?

y = 2x +1 Jest to równanie linii prostej ze spadkiem 2 i przecięciem y 1, więc tak JEST funkcja.

y2 = x + 1 Niech x = 3. Wartość y może wynosić ± 2, więc to NIE JEST funkcja.

y³ = x² Bez względu na to, jaką wartość ustawiamy dla x, otrzymujemy tylko jedną wartość dla y, więc to JEST funkcja.

y² = x² Ponieważ y = ± √x², to NIE JEST funkcja.