Zawartość
- TL; DR (Too Long; Didnt Read)
- Co to jest liczba zespolona?
- Podstawowe zasady algebry z liczbami zespolonymi
- Dzielenie liczb zespolonych
- Uproszczenie liczb zespolonych
Algebra często wymaga uproszczenia wyrażeń, ale niektóre wyrażenia są bardziej mylące niż inne. Liczby zespolone dotyczą ilości znanej jako ja, „wymyślony” numer z właściwością ja = √ − 1. Jeśli musisz po prostu wyrazić liczbę złożoną, może się to wydawać zniechęcające, ale po opanowaniu podstawowych zasad jest to dość prosty proces.
TL; DR (Too Long; Didnt Read)
Uprość liczby zespolone, postępując zgodnie z zasadami algebry z liczbami zespolonymi.
Co to jest liczba zespolona?
Liczby zespolone są zdefiniowane przez ich włączenie ja termin, który jest pierwiastkiem kwadratowym minus jeden. W matematyce na poziomie podstawowym pierwiastki kwadratowe liczb ujemnych tak naprawdę nie istnieją, ale czasami pojawiają się w problemach algebry. Ogólna forma liczby zespolonej pokazuje ich strukturę:
z = za + bi
Gdzie z oznacza liczbę zespoloną, za reprezentuje dowolną liczbę (zwaną „rzeczywistą” częścią), oraz b reprezentuje inną liczbę (zwaną częścią „urojoną”), z których oba mogą być dodatnie lub ujemne. Przykładowa liczba zespolona to:
z = 2 −4_i_
Ponieważ wszystkie pierwiastki kwadratowe liczb ujemnych mogą być reprezentowane przez wielokrotności ja, jest to formularz dla wszystkich liczb zespolonych. Technicznie liczba zwykła opisuje tylko specjalny przypadek liczby zespolonej, w której b = 0, więc wszystkie liczby można uznać za złożone.
Podstawowe zasady algebry z liczbami zespolonymi
Aby dodać i odjąć liczby zespolone, wystarczy osobno dodać lub odjąć rzeczywistą i urojoną część. Tak dla liczb zespolonych z = 2 - 4_i_ i w = 3 + 5_i_, suma wynosi:
z + w = (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)
=(2 + 3) + (−4 + 5)ja
= 5 + 1_i_ = 5 + ja
Odejmowanie liczb działa w ten sam sposób:
z − w = (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)
= (2 − 3) + (−4 − 5)ja
= −1 - 9_i_
Mnożenie to kolejna prosta operacja na liczbach zespolonych, ponieważ działa jak zwykłe mnożenie, tyle że trzeba o tym pamiętać ja2 = -1 Aby obliczyć 3_i_ × −4_i_:
3_i_ × −4_i_ = −12_i_2
Lecz odkąd ja2= -1, a następnie:
−12_i_2 = −12 ×−1 = 12
Z pełnymi liczbami zespolonymi (używając z = 2 - 4_i_ i w = 3 + 5_i_ ponownie), mnożymy je w taki sam sposób jak zwykłe liczby, takie jak (za + b) (do + re), stosując metodę „pierwsza, wewnętrzna, zewnętrzna, ostatnia” (FOIL), aby dać (za + b) (do + re) = ac + pne + ogłoszenie + bd. Wszystko, co musisz pamiętać, to uprościć wszelkie przypadki ja2. Na przykład:
z × w = (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)
= (2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)
= 6 −12_i_ + 10_i_ - 20_i_2
= 6 −2_i_ + 20 = 26 + 2_i_
Dzielenie liczb zespolonych
Dzielenie liczb zespolonych polega na pomnożeniu licznika i mianownika ułamka przez sprzężoną liczbę zespoloną mianownika. Sprzężona liczba zespolona oznacza po prostu wersję liczby zespolonej ze znakiem urojonym odwróconym znakiem. Więc dla z = 2 - 4_i_, koniugat złożony z = 2 + 4_i_ i dla w = 3 + 5_i_, w = 3 −5_i_. Dla problemu:
z / w = (2 - 4_i_) / (3 + 5_i_)
Potrzebny jest koniugat w*. Podziel licznik i mianownik przez to, aby uzyskać:
z / w = (2 - 4_i_) (3 −5_i_) / (3 + 5_i _) (3 - 5_i_)
Następnie wykonujesz czynności opisane w poprzedniej sekcji. Licznik daje:
(2 - 4_i_) (3 −5_i_) = 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_2
= −14 - 22_i_
A mianownik daje:
(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) = 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_2
= 9 + 25 = 34
To znaczy:
z / w = (−14 - 22_i_) / 34
= −14/34 - 22_i_ / 34
= −7/17 - 11_i_ / 17
Uproszczenie liczb zespolonych
W razie potrzeby użyj powyższych reguł, aby uprościć złożone wyrażenia. Na przykład:
z = ((4 + 2_i_) + (2 - ja)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ ja))
Można to uprościć, stosując regułę dodawania w liczniku, regułę mnożenia w mianowniku, a następnie dokonując podziału. Dla licznika:
(4 + 2_i_) + (2 - ja) = 6 + ja
Dla mianownika:
(2 + 2_i _) (2+ ja) = 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_2
= (4 - 2) + 6_i_
= 2 + 6_i_
Ponowne zainstalowanie tych elementów zapewnia:
z = (6 + ja) / (2 + 6_i_)
Pomnożenie obu części przez koniugat mianownika prowadzi do:
z = (6 + ja) (2 - 6_i_) / (2 + 6_i_) (2 - 6_i_)
= (12 + 2_i_ - 36_i_ −6_i_2) / (4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_2)
= (18–34_i_) / 40
= (9 - 17_i_) / 20
= 9/20 −17_i_ / 20
To znaczy z upraszcza w następujący sposób:
z = ((4 + 2_i_) + (2 - ja)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ ja)) = 9/20 −17_i_ / 20