Zawartość
- Rozwiązywanie układu równań przez podstawienie
- Napiwki
- Rozwiązywanie układu równań przez eliminację
- Rozwiązywanie układu równań za pomocą wykresów
Rozwiązanie układu równoczesnych równań wydaje się początkowo bardzo trudnym zadaniem. Mając więcej niż jedną nieznaną ilość do znalezienia wartości i najwyraźniej bardzo mało sposób rozplątywania jednej zmiennej od drugiej, może to być ból głowy dla osób początkujących w algebrze. Istnieją jednak trzy różne metody znalezienia rozwiązania równania, z których dwie zależą bardziej od algebry i są nieco bardziej niezawodne, a druga zamienia układ w serię linii na wykresie.
Rozwiązywanie układu równań przez podstawienie
Rozwiąż układ równań przez podstawienie, najpierw wyrażając jedną zmienną w kategoriach drugiej. Wykorzystując te równania jako przykład:
x – y = 5
3_x_ + 2_y_ = 5
Ponownie ułóż najprostsze równanie do pracy i użyj tego, aby wstawić do drugiego. W takim przypadku dodawanie y po obu stronach pierwszego równania daje:
x = y + 5
Użyj wyrażenia dla x w drugim równaniu, aby utworzyć równanie z jedną zmienną. W tym przykładzie powstaje drugie równanie:
3 × (y + 5) + 2_y_ = 5
3_y_ + 15 + 2_y_ = 5
Zbierz podobne warunki, aby uzyskać:
5_y_ + 15 = 5
Ponownie ułóż i rozwiązuj y, zaczynając od odejmowania 15 z obu stron:
5_y_ = 5 - 15 = −10
Dzielenie obu stron przez 5 daje:
y = −10 ÷ 5 = −2
Więc y = −2.
Wstaw ten wynik do dowolnego równania, aby rozwiązać pozostałą zmienną. Pod koniec kroku 1 stwierdzono, że:
x = y + 5
Użyj wartości, którą znalazłeś y uzyskać:
x = −2 + 5 = 3
Więc x = 3 i y = −2.
Napiwki
Rozwiązywanie układu równań przez eliminację
Spójrz na swoje równania, aby znaleźć zmienną do usunięcia:
x – y = 5
3_x_ + 2_y_ = 5
W przykładzie widać, że jedno równanie ma -y a drugi ma + 2_y_. Jeśli dodasz dwa razy pierwsze równanie do drugiego, y warunki zostaną anulowane i y zostałby wyeliminowany. W innych przypadkach (np. Jeśli chcesz wyeliminować x), możesz także odjąć wielokrotność jednego równania od drugiego.
Pomnóż pierwsze równanie przez dwa, aby przygotować je do metody eliminacji:
2 × (x – y) = 2 × 5
Więc
2_x_ - 2_y_ = 10
Wyeliminuj wybraną zmienną, dodając lub odejmując jedno równanie od drugiego. W tym przykładzie dodaj nową wersję pierwszego równania do drugiego równania, aby uzyskać:
3_x_ + 2_y_ + (2_x_ - 2_y_) = 5 + 10
3_x_ + 2_x_ + 2_y_ - 2_y_ = 15
Oznacza to:
5_x_ = 15
Rozwiąż dla pozostałej zmiennej. W tym przykładzie podziel obie strony przez 5, aby uzyskać:
x = 15 ÷ 5 = 3
Jak wcześniej.
Podobnie jak w poprzednim podejściu, gdy masz jedną zmienną, możesz wstawić ją do dowolnego wyrażenia i zmienić kolejność, aby znaleźć drugą. Używając drugiego równania:
3_x_ + 2_y_ = 5
Od tamtej pory x = 3:
3 × 3 + 2_y_ = 5
9 + 2_y_ = 5
Odejmij 9 z obu stron, aby uzyskać:
2_y_ = 5 - 9 = −4
Na koniec podziel przez dwa, aby uzyskać:
y = −4 ÷ 2 = −2
Rozwiązywanie układu równań za pomocą wykresów
Rozwiązuj układy równań z minimalną algebrą, wykreślając każde równanie i szukając x i y wartość, w której przecinają się linie. Konwertuj każde równanie na postać przechwytującą nachylenie (y = MX + b) pierwszy.
Pierwszym przykładem równania jest:
x – y = 5
Można to łatwo przekonwertować. Dodaj y na obie strony, a następnie odejmij 5 z obu stron, aby uzyskać:
y = x – 5
Który ma nachylenie m = 1 i a y-intercept b = −5.
Drugie równanie to:
3_x_ + 2_y_ = 5
Odejmij 3_x_ z obu stron, aby uzyskać:
2_y_ = −3_x_ + 5
Następnie podziel przez 2, aby uzyskać formularz przechwytywania nachylenia:
y = −3_x_ / 2 + 5/2
To ma nachylenie m = -3/2 oraz a y-intercept b = 5/2.
Użyj y przechwytuje wartości i nachylenia, aby narysować obie linie na wykresie. Pierwsze równanie przecina y oś w y = −5 oraz y wartość wzrasta o 1 za każdym razem x wartość wzrasta o 1. Ułatwia to rysowanie linii.
Drugie równanie przecina y oś na 5/2 = 2,5. Opada w dół, a y wartość zmniejsza się o 1,5 za każdym razem x wzrost wartości o 1. Możesz obliczyć y wartość dla dowolnego punktu na x oś za pomocą równania, jeśli jest to łatwiejsze.
Znajdź punkt, w którym przecinają się linie. To daje oboje x i y współrzędne rozwiązania układu równań.