Jak zintegrować funkcje pierwiastka kwadratowego

Zawartość

• Integracja podstawowych funkcji pierwiastka kwadratowego
• Integracja bardziej złożonych funkcji pierwiastka kwadratowego

Funkcje integrujące to jedna z podstawowych aplikacji rachunku różniczkowego. Czasami jest to proste, jak w:

F (x) = ∫ (x³ + 8) dx

W stosunkowo skomplikowanym przykładzie tego typu można użyć wersji podstawowej formuły do ​​całkowania całek nieoznaczonych:

∫ (xⁿ + A) dx = x^{(n + 1)}/ (n + 1) + An + C,

gdzie A i C są stałymi.

Dlatego w tym przykładzie

∫ x³ + 8 = x⁴/ 4 + 8x + C.

Integracja podstawowych funkcji pierwiastka kwadratowego

Na powierzchni integracja funkcji pierwiastka kwadratowego jest niewygodna. Na przykład możesz być utrudniony przez:

F (x) = ∫ √dx

Ale możesz wyrazić pierwiastek kwadratowy jako wykładnik, 1/2:

√ x³ = x^3(1/2) = x^(3/2)

Całka staje się zatem:

∫ (x^3/2 + 2x - 7) dx

do którego możesz zastosować zwykłą formułę z góry:

= x^(5/2)/ (5/2) + 2 (x²/ 2) - 7x

= (2/5) x^(5/2) + x² - 7x

Integracja bardziej złożonych funkcji pierwiastka kwadratowego

Czasami możesz mieć więcej niż jeden termin pod znakiem radykalnym, jak w tym przykładzie:

F (x) = ∫ dx

Aby kontynuować, możesz użyć podstawienia „u”. Tutaj ustawiasz u równą ilości w mianowniku:

u = √ (x - 3)

Rozwiąż to dla x, podnosząc do kwadratu obie strony i odejmując:

u² = x - 3

x = u² + 3

To pozwala uzyskać dx pod względem u, biorąc pochodną x:

dx = (2u) du

Zamiana w pierwotną całkę daje

F (x) = ∫ (u² + 3 + 1) / udu

= ∫du

= ∫ (2u² + 8) du

Teraz możesz to zintegrować za pomocą podstawowej formuły i wyrażenia u w postaci x:

∫ (2u² + 8) du = (2/3) u³ + 8u + C.

= (2/3) ³ + 8 + C.

= (2/3) (x - 3)^(3/2) + 8 (x - 3)^(1/2) + C.