Zawartość
Trzy metody najczęściej stosowane do rozwiązywania układów równań to podstawienie, eliminacja i macierze rozszerzone. Podstawienie i eliminacja to proste metody, które mogą skutecznie rozwiązać większość układów dwóch równań w kilku prostych krokach. Metoda rozszerzonych macierzy wymaga więcej kroków, ale jej zastosowanie obejmuje większą różnorodność systemów.
Podstawienie
Podstawienie jest metodą rozwiązywania układów równań poprzez usunięcie wszystkich zmiennych oprócz jednej w jednym z równań, a następnie rozwiązanie tego równania. Osiąga się to poprzez wyodrębnienie drugiej zmiennej w równaniu, a następnie podstawienie wartości tych zmiennych w innym innym równaniu. Na przykład, aby rozwiązać układ równań x + y = 4, 2x - 3y = 3, wyizoluj zmienną x w pierwszym równaniu, aby uzyskać x = 4 - y, a następnie podstaw tę wartość y do drugiego równania, aby uzyskać 2 (4 - y) - 3y = 3. To równanie upraszcza do -5y = -5 lub y = 1. Podłącz tę wartość do drugiego równania, aby znaleźć wartość x: x + 1 = 4 lub x = 3.
Eliminacja
Eliminacja to kolejny sposób rozwiązywania układów równań poprzez przepisanie jednego z równań pod względem tylko jednej zmiennej. Metoda eliminacji osiąga to poprzez dodawanie lub odejmowanie równań od siebie w celu anulowania jednej ze zmiennych. Na przykład dodanie równań x + 2y = 3 i 2x - 2y = 3 daje nowe równanie, 3x = 6 (zwróć uwagę, że warunki y zostały anulowane). Układ jest następnie rozwiązywany przy użyciu tych samych metod, co w przypadku zastępowania. Jeśli nie można anulować zmiennych w równaniach, konieczne będzie pomnożenie całego równania przez współczynnik, aby dopasować współczynniki.
Augmented Matrix
Rozszerzone macierze mogą być również stosowane do rozwiązywania układów równań. Rozszerzona macierz składa się z wierszy dla każdego równania, kolumn dla każdej zmiennej i rozszerzonej kolumny, która zawiera stały składnik po drugiej stronie równania. Na przykład, macierz rozszerzona dla układu równań 2x + y = 4, 2x - y = 0 to ...].
Ustalanie rozwiązania
Następny krok obejmuje użycie elementarnych operacji na wierszach, takich jak pomnożenie lub podzielenie wiersza przez stałą inną niż zero oraz dodawanie lub odejmowanie wierszy. Celem tych operacji jest przekonwertowanie macierzy na postać wiersz-eszelon, w której pierwszy niezerowy wpis w każdym wierszu to 1, wpisy powyżej i poniżej tego wpisu są zerami, a pierwszy niezerowy wpis dla każdego wiersz znajduje się zawsze po prawej stronie wszystkich takich wpisów w wierszach nad nim. Forma rząd-rzut dla powyższej macierzy to ...]. Wartość pierwszej zmiennej jest podana w pierwszym rzędzie (1x + 0y = 1 lub x = 1). Wartość drugiej zmiennej jest podana w drugim wierszu (0x + 1y = 2 lub y = 2).
Aplikacje
Podstawienie i eliminacja są prostszymi metodami rozwiązywania równań i są stosowane znacznie częściej niż macierze rozszerzone w algebrze podstawowej. Metoda podstawienia jest szczególnie przydatna, gdy jedna ze zmiennych jest już wyizolowana w jednym z równań. Metoda eliminacji jest użyteczna, gdy współczynnik jednej ze zmiennych jest taki sam (lub jego ujemny równoważnik) we wszystkich równaniach. Podstawową zaletą rozszerzonych macierzy jest to, że można je stosować do rozwiązywania układów trzech lub więcej równań w sytuacjach, w których podstawienie i eliminacja są albo niewykonalne, albo niemożliwe.