Jak obliczyć trajektorie

Zawartość

• Równania kinematyczne
• Przykłady ruchu pocisku
• Obliczenia trajektorii

Ruch pocisku odnosi się do ruchu cząstki, która jest nadawana z prędkością początkową, ale następnie nie jest poddawana działaniu żadnych sił poza grawitacją.

Obejmuje to problemy, w których cząstka jest rzucana pod kątem od 0 do 90 stopni w stosunku do poziomu, przy czym poziom jest zwykle ziemią. Dla wygody zakłada się, że pociski te poruszają się w (x, y) samolot, z x reprezentujący przemieszczenie poziome i y przemieszczenie pionowe.

Ścieżka obrana przez pocisk jest określana jako jego trajektoria. (Zauważ, że wspólnym łącznikiem w „pocisku” i „trajektorii” jest sylaba „-ject”, łacińskie słowo „rzut”. Wyrzucenie kogoś dosłownie oznacza wyrzucenie go.) Punktem wyjścia pocisku są problemy w którym należy obliczyć trajektorię, dla uproszczenia zwykle przyjmuje się (0, 0), chyba że zaznaczono inaczej.

Trajektorią pocisku jest parabola (lub przynajmniej śledzi część paraboli), jeśli cząstka zostaje wystrzelona w taki sposób, że ma niezerowy komponent ruchu poziomego i nie ma oporu powietrza, który mógłby wpłynąć na cząstkę.

Równania kinematyczne

Zmienne będące przedmiotem ruchu cząstki to jej współrzędne położenia x i y, jego prędkość przeciwkoi jego przyspieszenie za, wszystko w odniesieniu do danego upływającego czasu t od początku problemu (kiedy cząstka jest uruchamiana lub uwalniana). Zauważ, że pominięcie masy (m) oznacza, że ​​grawitacja na Ziemi działa niezależnie od tej wielkości.

Zauważ również, że równania te ignorują rolę oporu powietrza, który tworzy siłę oporu przeciwstawiającą się ruchowi w rzeczywistych sytuacjach na Ziemi. Czynnik ten wprowadza się na kursach mechaniki wyższego poziomu.

Zmienne o indeksie dolnym „0” odnoszą się do wartości tej ilości w danym momencie t = 0 i są stałymi; często ta wartość wynosi 0 dzięki wybranemu układowi współrzędnych, a równanie staje się o wiele prostsze. Przyspieszenie jest traktowane jako stałe w tych problemach (i jest w kierunku y i równe -sol, lub –9,8 m / s², przyspieszenie ziemskie w pobliżu grawitacji).

Ruch poziomy:

x = x₀ + v_x t

Ruch pionowy:

Przykłady ruchu pocisku

Kluczem do rozwiązania problemów obejmujących obliczenia trajektorii jest wiedza, że ​​składowe ruchu w poziomie (x) i w pionie (y) można analizować osobno, jak pokazano powyżej, oraz ich odpowiedni wkład w ogólny ruch starannie podsumowany na końcu problem.

Problemy z ruchem pocisku liczą się jako problemy z opadaniem, ponieważ bez względu na to, jak rzeczy wyglądają zaraz po czasie t = 0, jedyną siłą działającą na poruszający się obiekt jest grawitacja.

Obliczenia trajektorii

1. Najszybsi miotacze w baseballu mogą rzucić piłkę z prędkością nieco ponad 100 mil na godzinę lub 45 m / s. Jeśli piłka zostanie rzucona pionowo w górę przy tej prędkości, jak wysoko ją zdobędzie i ile czasu zajmie powrót do punktu, w którym została wypuszczona?

Tutaj przeciwko_y0 = 45 m / s, -sol = –9,8 m / s, a interesującymi wielkościami są ostateczna wysokość, lub y i całkowity czas powrotu na Ziemię. Całkowity czas to dwuczęściowe obliczenie: czas do y, a czas z powrotem do y₀ = 0. W pierwszej części problemu przeciwko_y, gdy piłka osiągnie szczytową wysokość, wynosi 0.

Zacznij od użycia równania przeciwko_y² = v_0y² - 2g (r - r₀) i wprowadzając wartości, które masz:

0 = (45)² - (2) (9,8) (y - 0) = 2025 - 19,6 lat

y = 103,3 m

Równanie przeciwko_y = v_0y - gt pokazuje, że czas t to zajmuje (45 / 9,8) = 4,6 sekundy. Aby uzyskać całkowity czas, dodaj tę wartość do czasu, po którym piłka swobodnie spadnie do punktu początkowego. Daje to y = y₀ + v_0yt - (1/2) gt² , gdzie teraz, ponieważ piłka jest w tej chwili, zanim zacznie spadać, przeciwko_0y = 0.

Rozwiązywanie (103,3) = (1/2) gt² dla t daje t = 4,59 sekundy.

Zatem całkowity czas wynosi 4,59 + 4,59 = 9,18 sekundy. Być może zaskakujący wynik, że każda „noga” podróży, w górę iw dół, trwała w tym samym czasie, podkreśla fakt, że grawitacja jest tutaj jedyną siłą.

2. Równanie zakresu: Gdy pocisk wystrzeliwuje z dużą prędkością przeciwko₀ i kąt θ od poziomu, ma początkowe poziome i pionowe składowe prędkości przeciwko_0x = przeciwko₀(cos θ) i przeciwko_0y = przeciwko₀(grzech θ).

Dlatego przeciwko_y = v_0y - gt, i przeciwko_y = 0, gdy pocisk osiągnie maksymalną wysokość, czas do osiągnięcia maksymalnej wysokości jest określony przez t = przeciwko_0y/sol. Ze względu na symetrię czas powrotu na ziemię (lub y = y₀) jest po prostu 2t = 2przeciwko_0y/sol.

Wreszcie, łącząc je z relacją x = przeciwko_0xt, przebyta odległość pozioma przy danym kącie startu θ wynosi

R (zakres) = 2 (v₀²grzech θ ⋅ cos θ / g) = v₀²(sin2θ) / g

(Ostatni krok pochodzi od tożsamości trygonometrycznej 2 sinθ ⋅ cosθ = sin 2θ.)

Ponieważ sin2θ ma maksymalną wartość 1, gdy θ = 45 stopni, użycie tego kąta maksymalizuje odległość poziomą dla danej prędkości przy

R = v₀²/sol.