Zawartość
W matematyce czasami pojawia się potrzeba udowodnienia, czy funkcje są od siebie zależne czy niezależne w sensie liniowym. Jeśli masz dwie funkcje, które są zależne liniowo, wykresy równań tych funkcji powodują nakładanie się punktów. Funkcje z niezależnymi równaniami nie nakładają się na siebie podczas rysowania. Jedną z metod określania, czy funkcje są zależne czy niezależne, jest obliczenie Wronskiego dla funkcji.
Co to jest Wronskian?
Wronskian dwóch lub więcej funkcji jest tak zwany wyznacznikiem, który jest specjalną funkcją służącą do porównywania obiektów matematycznych i dowodzenia pewnych faktów na ich temat. W przypadku Wrońskiego wyznacznik służy do wykazania zależności lub niezależności między dwiema lub więcej funkcjami liniowymi.
Matryca Wrońskiego
Aby obliczyć Wronskiana dla funkcji liniowych, funkcje należy rozwiązać dla tej samej wartości w macierzy, która zawiera zarówno funkcje, jak i ich pochodne. Przykładem tego jest W (f, g) (t) = | fafa((tt)) solsol((tt)) |, który zapewnia Wronskianowi dwie funkcje (f i g) rozwiązane dla pojedynczej wartości większej od zera (t); możesz zobaczyć dwie funkcje f (t) ig (t) w górnym rzędzie macierzy, a pochodne f (t) ig (t) w dolnym rzędzie. Pamiętaj, że Wronskian może być również używany do większych zestawów. Jeśli na przykład przetestujesz trzy funkcje za pomocą Wronskiego, możesz zapełnić macierz funkcjami i pochodnymi f (t), g (t) i h (t).
Rozwiązywanie Wrońskiego
Po ustawieniu funkcji w macierzy, należy pomnożyć krzyżowo każdą funkcję przez pochodną drugiej funkcji i odjąć pierwszą wartość od drugiej. W powyższym przykładzie daje to W (f, g) (t) = f (t) g (t) - g (t) f (t). Jeśli ostateczna odpowiedź jest równa zero, oznacza to, że obie funkcje są zależne. Jeśli odpowiedź jest inna niż zero, funkcje są niezależne.
Przykład Wroński
Aby lepiej zrozumieć, jak to działa, załóżmy, że f (t) = x + 3 ig (t) = x - 2. Używając wartości t = 1, możesz rozwiązać funkcje jako f (1) = 4 ig (1) = -1. Ponieważ są to podstawowe funkcje liniowe o nachyleniu 1, pochodne zarówno f (t) ig (t) są równe 1. Mnożenie krzyżowe twoich wartości daje W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1), co daje końcowy wynik 5. Chociaż obie funkcje liniowe mają to samo nachylenie, są one niezależne, ponieważ ich punkty nie zachodzą na siebie. Gdyby f (t) dało wynik -1 zamiast 4, Wronskian podałby wynik zero, wskazując zależność.