Jak faktorować wielomiany z ułamkami

Zawartość

• Wielomiany ze zdefiniowanymi ułamkami
• Podstawy faktoringu - własność dystrybucyjna i metoda FOIL
• Kroki, które należy podjąć przy obliczaniu ułamków wielomianowych
• Ocena równań poprzez częściowy rozkład frakcji
• Uprość mianownik
• Zmień kolejność licznika

Najlepszy sposób na uwzględnienie wielomianów z ułamkami rozpoczyna się od zredukowania ułamków do prostszych warunków. Wielomiany reprezentują wyrażenia algebraiczne z dwoma lub więcej terminami, a dokładniej sumą wielu terminów, które mają różne wyrażenia tej samej zmiennej. Strategie, które pomagają uprościć wielomiany, obejmują uwzględnienie największego wspólnego czynnika, a następnie pogrupowanie równania na najniższe wartości. To samo dotyczy nawet rozwiązywania wielomianów za pomocą ułamków.

Wielomiany ze zdefiniowanymi ułamkami

Istnieją trzy sposoby wyświetlania wielomianów frazy z ułamkami. Pierwsza interpretacja dotyczy wielomianów z ułamkami dla współczynników. W algebrze współczynnik definiuje się jako liczbę liczbową lub stałą znalezioną przed zmienną. Innymi słowy, współczynniki dla 7a, b i (1/3) c wynoszą odpowiednio 7, 1 i (1/3). Dwa przykłady wielomianów o współczynnikach frakcji to:

(1/4) x² + 6x + 20 oraz x² + (3/4) x + (1/8).

Druga interpretacja „wielomianów z ułamkami” odnosi się do wielomianów istniejących w postaci ułamka lub stosunku z licznikiem i mianownikiem, w których wielomian licznika jest dzielony przez wielomian mianownika. Na przykład tę drugą interpretację ilustrują:

(x² + 7x + 10) ÷ (x² + 11x + 18)

Tymczasem trzecia interpretacja dotyczy częściowego rozkładu ułamka, znanego również jako częściowe rozszerzenie ułamka. Czasami ułamki wielomianowe są złożone, dlatego gdy są „rozkładane” lub „dzielone” na prostsze terminy, są prezentowane jako sumy, różnice, produkty lub iloraz ułamków wielomianowych. Aby to zilustrować, złożony ułamek wielomianowy (8x + 7) ÷ (x² + x - 2) jest oceniany przez częściowy rozkład ułamkowy, który, nawiasem mówiąc, obejmuje faktoring wielomianów, aby być + w najprostszej formie.

Podstawy faktoringu - własność dystrybucyjna i metoda FOIL

Czynniki reprezentują dwie liczby, które po pomnożeniu równa się trzeciej liczbie. W równaniach algebraicznych faktoring określa, które dwie wielkości pomnożono razem, aby dojść do danego wielomianu. Podczas mnożenia wielomianów ściśle przestrzegana jest właściwość dystrybucyjna. Właściwość dystrybucyjna zasadniczo umożliwia pomnożenie sumy przez pomnożenie każdej liczby indywidualnie przed dodaniem produktów. Obserwuj na przykład, w jaki sposób zastosowano właściwość dystrybucyjną na przykładzie:

7 (10x + 5), aby dojść do dwumianu 70x + 35.

Ale jeśli dwa dwumianowe zostaną pomnożone razem, wówczas wykorzystana zostanie rozszerzona wersja właściwości dystrybucyjnej za pomocą metody FOIL. FOIL reprezentuje akronim pomnożonych terminów Pierwszy, Zewnętrzny, Wewnętrzny i Ostatni. Stąd faktoring wielomianów wymaga wykonania metody FOIL do tyłu. Weź dwa wyżej wymienione przykłady z wielomianami zawierającymi współczynniki frakcji. Wykonanie metody FOIL wstecz na każdym z nich skutkuje czynnikami:

((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10) dla pierwszego wielomianu i czynniki:

(x + (1/4)) (x + (1/2)) dla drugiego wielomianu.

Przykład: (1/4) x² + 6x + 20 = ((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10)

Przykład: x² + (3/4) x + (1/8) = (x + (1/4)) (x + (1/2))

Kroki, które należy podjąć przy obliczaniu ułamków wielomianowych

Z góry ułamki wielomianowe obejmują wielomian w liczniku podzielony przez wielomian w mianowniku. Ocena frakcji wielomianowych wymaga zatem najpierw faktoryzacji wielomianu licznika, a następnie faktoryzacji wielomianu mianownika. Pomaga znaleźć największy wspólny czynnik (GCF) między licznikiem a mianownikiem. Po znalezieniu GCF zarówno licznika, jak i mianownika, zostaje ono anulowane, ostatecznie redukując całe równanie do uproszczonych terminów. Rozważmy przykład oryginalnej frakcji wielomianowej powyżej

(x² + 7x + 10) ÷ (x²+ 11x + 18).

Faktoring wielomianów licznika i mianownika w celu znalezienia GCF daje:

÷, przy czym GCF wynosi (x + 2).

GCF zarówno w liczniku, jak i mianowniku znoszą się nawzajem, aby uzyskać ostateczną odpowiedź w najniższych kategoriach (x + 5) ÷ (x + 9).

Przykład:

x² + 7x + 10 (x + 2)(x + 5) (x + 5)

__ = ___ = __

x²+ 11x + 18 (x + 2)(x + 9) (x + 9)

Ocena równań poprzez częściowy rozkład frakcji

Częściowy rozkład ułamka, który obejmuje faktoring, jest sposobem na zapisanie złożonych równań wielomianowych ułamka prostszego. Ponownie przeglądając przykład z góry

(8x + 7) ÷ (x² + x - 2).

Uprość mianownik

Uprość mianownik, aby uzyskać: (8x + 7) ÷.

8x + 7 8x + 7

__ = __

x² + x - 2 (x + 2) (x - 1)

Zmień kolejność licznika

Następnie zmień kolejność licznika, tak aby zaczynał mieć GCF obecne w mianowniku, aby uzyskać:

(3x + 5x - 3 + 10) ÷, który jest dalej rozszerzany do {(3x - 3) ÷} + {(5x + 10) ÷}.

8x + 7 3x + 5x - 3 + 10 3x - 3 5x + 10

____ = ___ = ______ +

(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1)

Dla lewego dodatku GCF wynosi (x - 1), podczas gdy dla prawego dodatku GCF wynosi (x + 2), które anulują licznik i mianownik, jak widać w {+}.

3x - 3 5x + 10 3(x - 1) 5(x + 2)

___ + __ = ___ +

(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2)(x - 1) (x + 2)(x - 1)

Tak więc, gdy GCF anulują, ostateczna uproszczona odpowiedź to +:

3 5

__ + __ jako rozwiązanie rozkładu częściowej frakcji.

x + 2 x - 1