Zawartość
Jedną z ważnych operacji wykonywanych w rachunku różniczkowym jest znalezienie instrumentów pochodnych. Pochodna funkcji jest również nazywana szybkością zmiany tej funkcji. Na przykład, jeśli x (t) jest pozycją samochodu w dowolnym momencie t, to pochodna x, zapisana dx / dt, jest prędkością samochodu. Pochodną można również zwizualizować jako nachylenie linii stycznej do wykresu funkcji. Na poziomie teoretycznym tak matematycy znajdują pochodne. W praktyce matematycy używają zestawów podstawowych reguł i tabel odnośników.
Pochodna jako nachylenie
Nachylenie linii między dwoma punktami to wzrost lub różnica wartości y podzielona przez przebieg lub różnica wartości x. Nachylenie funkcji y (x) dla pewnej wartości x jest zdefiniowane jako nachylenie linii stycznej do funkcji w punkcie. Aby obliczyć nachylenie, konstruujesz linię między punktem a pobliskim punktem, gdzie h jest bardzo małą liczbą. Dla tego wiersza przebieg lub zmiana wartości x to h, a wzrost lub zmiana wartości y to y (x + h) - y (x). W związku z tym nachylenie y (x) w punkcie jest w przybliżeniu równe / = / h. Aby dokładnie uzyskać nachylenie, obliczasz wartość nachylenia, gdy h staje się coraz mniejsze, aż do „granicy”, gdzie dochodzi do zera. Obliczone w ten sposób nachylenie jest pochodną y (x), zapisaną jako y ’(x) lub dy / dx.
Pochodna funkcji potęgowej
Możesz użyć metody nachylenie / ograniczenie, aby obliczyć pochodne funkcji, w których y jest równe x mocy a lub y (x) = x ^ a. Na przykład, jeśli y jest równe x sześciennej, y (x) = x ^ 3, to dy / dx jest granicą, gdy h idzie do zera z / h. Rozwijanie (x + h) ^ 3 daje / h, co zmniejsza się do 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 po podzieleniu przez h. W limicie, gdy h spada do zera, wszystkie wyrażenia, które zawierają h, również idą do zera. Więc y '(x) = dy / dx = 3x ^ 2. Możesz to zrobić dla wartości innych niż 3 i ogólnie możesz pokazać, że d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).
Pochodna z serii Power
Wiele funkcji można zapisać jako tak zwane szeregi potęgowe, które są sumą nieskończonych liczb, w których każda ma postać C (n) x ^ n, gdzie x jest zmienną, n jest liczbą całkowitą, a C ( n) jest określoną liczbą dla każdej wartości n. Na przykład szereg mocy dla funkcji sinus to Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 + ..., gdzie „...” oznacza terminy kontynuowane na do nieskończoności. Jeśli znasz szeregi mocy dla funkcji, możesz użyć pochodnej mocy x ^ n do obliczenia pochodnej funkcji. Na przykład pochodna Sin (x) jest równa 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 + ..., co jest przypadkiem szeregu mocy dla Cos (x).
Pochodne z tabel
Pochodne podstawowych funkcji, takich jak potęgi, takie jak x ^ a, funkcje wykładnicze, funkcje dziennika i funkcje wyzwalające, można znaleźć przy użyciu metody nachylenia / ograniczenia, metody szeregów mocy lub innych metod. Te pochodne są następnie wymienione w tabelach. Na przykład możesz sprawdzić, że pochodną Sin (x) jest Cos (x). Gdy złożone funkcje są kombinacjami podstawowych funkcji, potrzebne są specjalne reguły, takie jak reguła łańcuchowa i reguła produktu, które są również podane w tabelach. Na przykład używasz reguły łańcuchowej, aby stwierdzić, że pochodną Sin (x ^ 2) jest 2xCos (x ^ 2). Z reguły produktu wynika, że pochodną xSin (x) jest xCos (x) + Sin (x). Korzystając z tabel i prostych reguł, możesz znaleźć pochodną dowolnej funkcji. Ale gdy funkcja jest niezwykle złożona, naukowcy czasami sięgają po programy komputerowe w celu uzyskania pomocy.