Zawartość
- Macierze, wartości własne i wektory własne: co one oznaczają
- Jak obliczyć wartości własne
- Napiwki
- Znajdowanie wektorów własnych
Kiedy masz prezentowaną macierz na zajęciach z matematyki lub fizyki, często będziesz proszony o znalezienie jej wartości własnych. Jeśli nie masz pewności, co to znaczy i jak to zrobić, zadanie jest zniechęcające i wiąże się z wieloma mylącymi terminologiami, które jeszcze bardziej pogarszają sytuację. Jednak proces obliczania wartości własnych nie jest zbyt trudny, jeśli nie masz nic przeciwko rozwiązywaniu równań kwadratowych (lub wielomianowych), pod warunkiem, że poznasz podstawy macierzy, wartości własnych i wektorów własnych.
Macierze, wartości własne i wektory własne: co one oznaczają
Macierze to tablice liczb, w których A oznacza nazwę macierzy ogólnej, jak poniżej:
( 1 3 )
ZA = ( 4 2 )
Liczby na każdej pozycji są różne, a na ich miejscu mogą być nawet wyrażenia algebraiczne. Jest to matryca 2 × 2, ale mają różne rozmiary i nie zawsze mają taką samą liczbę wierszy i kolumn.
Radzenie sobie z macierzami różni się od radzenia sobie ze zwykłymi liczbami i istnieją szczegółowe zasady mnożenia, dzielenia, dodawania i odejmowania ich od siebie. Pojęcia „wartość własna” i „wektor własny” są używane w algebrze macierzy w odniesieniu do dwóch charakterystycznych wielkości w odniesieniu do macierzy. Ten problem z wartością własną pomaga zrozumieć, co oznacza ten termin:
ZA ∙ v = λ ∙ v
ZA jest ogólną matrycą, jak poprzednio, v jest jakimś wektorem, a λ jest wartością charakterystyczną. Spójrz na równanie i zauważ, że mnożąc macierz przez wektor v, efektem jest odtworzenie tego samego wektora pomnożonego przez wartość λ. Jest to niezwykłe zachowanie i zarabia wektor v i ilości λ nazwy specjalne: wektor własny i wartość własna. Są to charakterystyczne wartości macierzy, ponieważ pomnożenie macierzy przez wektor własny pozostawia wektor niezmieniony poza pomnożeniem przez współczynnik wartości własnej.
Jak obliczyć wartości własne
Jeśli masz problem z wartością własną macierzy w jakiejś formie, znalezienie wartości własnej jest łatwe (ponieważ wynikiem będzie wektor taki sam jak oryginalny, z wyjątkiem pomnożenia przez stały współczynnik - wartość własna). Odpowiedź można znaleźć, rozwiązując równanie charakterystyczne macierzy:
det (ZA – λja) = 0
Gdzie ja jest matrycą tożsamości, która jest pusta, z wyjątkiem serii 1 biegnącej po przekątnej w dół matrycy. „Det” odnosi się do wyznacznika macierzy, który dla ogólnej macierzy:
(a b)
ZA = (c d)
Jest dany przez
det ZA = ad –bc
Zatem równanie charakterystyczne oznacza:
(a - λ b)
det (ZA – λja) = (c d - λ) = (a - λ) (d - λ) - bc = 0
Jako macierz przykładową zdefiniujmy ZA tak jak:
( 0 1 )
ZA = (−2 −3 )
Wiec to znaczy:
det (ZA – λja) = (0 – λ)(−3 – λ)− (1 ×−2)= 0
= −λ (−3 – λ) + 2
= λ2 + 3 λ + 2 = 0
Rozwiązania dla λ są wartościami własnymi i rozwiązujesz to jak każde równanie kwadratowe. Rozwiązaniami są λ = - 1 i λ = - 2.
Napiwki
Znajdowanie wektorów własnych
Znalezienie wektorów własnych jest podobnym procesem. Używając równania:
(ZA – λ) ∙ v = 0
z każdą z wartości własnych, które znalazłeś po kolei. To znaczy:
(a - λ b) (v1 ) (a - λ) v1 + b v2 (0)
(ZA – λ) ∙ v = (c d - λ) ∙ (v2 ) = c v1 + (d - λ) v2 = (0)
Możesz rozwiązać ten problem, rozważając kolejno każdy rząd. Potrzebujesz tylko współczynnika v1 do v2, ponieważ będzie nieskończenie wiele potencjalnych rozwiązań v1 i v2.