Jak obliczyć odległość euklidesową

Odległość euklidesowa to odległość między dwoma punktami w przestrzeni euklidesowej. Przestrzeń euklidesowa została pierwotnie opracowana przez greckiego matematyka Euclida około 300 r.p.n.e. studiować relacje między kątami i odległościami. Ten system geometrii jest nadal w użyciu i jest tym, który uczą się najczęściej uczniowie szkół średnich. Geometria euklidesowa dotyczy w szczególności przestrzeni o dwóch i trzech wymiarach. Można go jednak łatwo uogólnić na wymiary wyższego rzędu.

Oblicz odległość euklidesową dla jednego wymiaru. Odległość między dwoma punktami w jednym wymiarze jest po prostu wartością bezwzględną różnicy między ich współrzędnymi. Matematycznie jest to pokazane jako | p1 - q1 | gdzie p1 jest pierwszą współrzędną pierwszego punktu, a q1 jest pierwszą współrzędną drugiego punktu. Używamy wartości bezwzględnej tej różnicy, ponieważ odległość zwykle uważa się za tylko wartość nieujemną.

Weź dwa punkty P i Q w dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Opiszemy P za pomocą współrzędnych (p1, p2), a Q za pomocą współrzędnych (q1, q2). Teraz skonstruuj odcinek linii z punktami końcowymi P i Q. Ten odcinek linii utworzy przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego. Rozszerzając wyniki uzyskane w kroku 1, zauważamy, że długości nóg tego trójkąta są podane przez | p1 - q1 | i | p2 - q2 |. Odległość między dwoma punktami zostanie następnie podana jako długość przeciwprostokątnej.

Użyj twierdzenia Pitagorasa, aby określić długość przeciwprostokątnej w kroku 2. Twierdzenie to stwierdza, że ​​c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2, gdzie c jest długością przeciwprostokątnej trójkątów prostych a a, b są długościami drugiego dwie nogi. To daje nam c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). Odległość między 2 punktami P = (p1, p2) i Q = (q1, q2) w przestrzeni dwuwymiarowej wynosi zatem ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).

Rozszerz wyniki kroku 3 do trójwymiarowej przestrzeni. Odległość między punktami P = (p1, p2, p3) i Q = (q1, q2, q3) można następnie podać jako ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).

Uogólnij rozwiązanie w kroku 4 dla odległości między dwoma punktami P = (p1, p2, ..., pn) i Q = (q1, q2, ..., qn) w n wymiarach. To ogólne rozwiązanie można podać jako ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + ... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).