Prawa ruchu wahadła

Zawartość

• TL; DR (Too Long; Didnt Read)
• Prosty harmonijmy ruch
• Prawa prostego wahadła
• Proste wyprowadzenie wahadła
• Czynniki wpływające na ruch wahadła
• Przykład długości wahadła
• Prosta definicja wahadła
• Prawa Newtona w wahadłach

Wahadła mają interesujące właściwości, których fizycy używają do opisywania innych obiektów. Na przykład orbita planetarna podąża za podobnym wzorem, a kołysanie na zestawie huśtawkowym może wydawać się, że jesteś na wahadle. Te właściwości pochodzą z szeregu praw rządzących ruchem wahadła. Ucząc się tych praw, możesz zacząć rozumieć niektóre podstawowe zasady fizyki i ruchu w ogóle.

TL; DR (Too Long; Didnt Read)

Ruch wahadła można opisać za pomocą θ (t) = θ_maxcos (2πt / T) w którym θ reprezentuje kąt między sznurkiem a pionową linią w dół do środka, t reprezentuje czas i T. to okres, czas niezbędny do wystąpienia jednego pełnego cyklu ruchu wahadła (mierzony za pomocą 1 / f) wniosku o wahadło.

Prosty harmonijmy ruch

Prosty harmonijmy ruchlub ruch opisujący, jak prędkość obiektu oscyluje proporcjonalnie do wielkości przesunięcia z równowagi, można wykorzystać do opisania równania wahadła. Kołyszący się wahadłowy bob jest utrzymywany w ruchu przez tę siłę działającą na niego, gdy porusza się tam iz powrotem.

••• Syed Hussain Ather

Prawa rządzące ruchem wahadła doprowadziły do ​​odkrycia ważnej własności. Fizycy rozkładają siły na komponent pionowy i poziomy. W ruchu wahadłowym trzy siły działają bezpośrednio na wahadło: masa koczka, grawitacja i napięcie struny. Zarówno masa, jak i grawitacja działają pionowo w dół. Ponieważ wahadło nie porusza się w górę ani w dół, pionowy składnik napięcia sznurka znosi masę i grawitację.

To pokazuje, że masa wahadła nie ma związku z jego ruchem, ale poziomo naciąg sznurka ma. Prosty ruch harmoniczny jest podobny do ruchu kołowego. Możesz opisać obiekt poruszający się po ścieżce kołowej, jak pokazano na powyższym rysunku, określając kąt i promień, jaki przyjmuje on na odpowiadającej mu ścieżce kołowej. Następnie, używając trygonometrii prawego trójkąta między środkiem koła, pozycją obiektów i przesunięciem w obu kierunkach x i y, można znaleźć równania x = rsin (θ) i y = rcos (θ).

Jednowymiarowe równanie obiektu w prostym ruchu harmonicznym podano przez x = r cos (ωt). Możesz dalej zastąpić ZA dla r w którym ZA jest amplituda, maksymalne przesunięcie od pozycji początkowej obiektów.

Prędkość kątowa ω w odniesieniu do czasu t dla tych kątów θ jest dany przez θ = ωt. Jeśli podstawisz równanie, które wiąże prędkość kątową z częstotliwością fa, ω = 2πf_, możesz sobie wyobrazić ten ruch kołowy, a następnie, jako część wahadła kołyszącego się w przód i w tył, wówczas proste równanie ruchu harmonicznego wynosi _x = A cos (2πft).

Prawa prostego wahadła

••• Syed Hussain Ather

Wahadła, podobnie jak masy na wiosnę, są tego przykładem proste oscylatory harmoniczne: Występuje siła przywracania, która wzrasta w zależności od przesunięcia wahadła, a ich ruch można opisać za pomocą proste równanie oscylatora harmonicznego θ (t) = θ_maxcos (2πt / T) w którym θ reprezentuje kąt między sznurkiem a pionową linią w dół do środka, t reprezentuje czas i T. jest Kropkaczas niezbędny do wystąpienia jednego pełnego cyklu ruchu wahadła (mierzony za pomocą 1 / f) wniosku o wahadło.

θ_max jest innym sposobem określania maksymalnego kąta oscylacji podczas ruchu wahadła i innym sposobem definiowania amplitudy wahadła. Ten krok wyjaśniono poniżej w części „Prosta definicja wahadła”.

Inną implikacją praw prostego wahadła jest to, że okres oscylacji o stałej długości jest niezależny od wielkości, kształtu, masy i materiału obiektu na końcu sznurka. Widać to wyraźnie poprzez proste wyprowadzenie wahadła i wynikające z niego równania.

Proste wyprowadzenie wahadła

Możesz ustalić równanie dla proste wahadło, definicja, która zależy od prostego oscylatora harmonicznego, od szeregu kroków rozpoczynających się od równania ruchu wahadła. Ponieważ siła grawitacji wahadła jest równa sile ruchu wahadła, możesz ustawić je równe sobie za pomocą drugiego prawa Newtona z masą wahadła M., Długość łańcucha L., kąt θ, przyspieszenie grawitacyjne sol i przedział czasu t.

••• Syed Hussain Ather

Ustawiasz drugą zasadę Newtona na moment bezwładności I = pan²_ dla pewnej masy _m i promień ruchu kołowego (w tym przypadku długość sznurka) r razy przyspieszenie kątowe α.

Istnieją inne sposoby wykonania prostej pochodnej wahadła. Poznaj znaczenie każdego kroku, aby zobaczyć, jak są ze sobą powiązane. Za pomocą tych teorii możesz opisać prosty ruch wahadła, ale powinieneś również wziąć pod uwagę inne czynniki, które mogą wpływać na prostą teorię wahadła.

Czynniki wpływające na ruch wahadła

Jeśli porównasz wynik tego wyprowadzenia θ (t) = θ_maxcos (t (L / g)²) do równania prostego oscylatora harmonicznego (_θ (t) = θ_maxcos (2πt / T)) b_y ustawiając je równe sobie, możesz wyprowadzić równanie dla okresu T.

Zauważ, że to równanie T = 2π (L / g)^-1/2 nie zależy od masy M. wahadła, amplituda θ_max, ani na czas t. Oznacza to, że okres jest niezależny od masy, amplitudy i czasu, ale zamiast tego zależy od długości struny. Daje ci zwięzły sposób wyrażania ruchu wahadła.

Przykład długości wahadła

Z równaniem dla okresu T = 2π (L / g) __^-1/2, możesz zmienić układ równania, aby uzyskać L = (T / 2_π)² / g_ i zastąp 1 sek T. i 9,8 m / s² dla sol pozyskać L = 0,0025 m. Należy pamiętać, że równania prostej teorii wahadła zakładają, że długość sznurka jest pozbawiona tarcia i nie ma masy. Uwzględnienie tych czynników wymagałoby bardziej skomplikowanych równań.

Prosta definicja wahadła

Możesz pociągnąć wahadło do tyłu θ pozwolić mu się kołysać w tę iz powrotem, by zobaczyć, jak oscyluje jak sprężyna. W przypadku prostego wahadła można to opisać za pomocą równań ruchu prostego oscylatora harmonicznego. Równanie ruchu działa dobrze dla mniejszych wartości kąta i amplituda, maksymalny kąt, ponieważ prosty model wahadła opiera się na przybliżeniu, że grzech (θ) ≈ θ dla pewnego kąta wahadła θ. Ponieważ wartości kątów i amplitud stają się większe niż około 20 stopni, to przybliżenie również nie działa.

Wypróbuj to sam. Wahadło kołysze się z dużym kątem początkowym θ nie oscyluje tak regularnie, aby umożliwić opisanie go za pomocą prostego oscylatora harmonicznego. Pod mniejszym kątem początkowym θ, wahadło znacznie łatwiej zbliża się do regularnego ruchu oscylacyjnego. Ponieważ masa wahadła nie ma wpływu na jego ruch, fizycy udowodnili, że wszystkie wahadła mają taki sam okres dla kątów drgań - kąt między środkiem wahadła w najwyższym punkcie a środkiem wahadła w pozycji zatrzymania - mniej niż 20 stopni.

Dla wszystkich praktycznych celów wahadła w ruchu, wahadło ostatecznie zwolni i zatrzyma się z powodu tarcia między sznurkiem i jego punktem mocowania powyżej, a także z powodu oporu powietrza między wahadłem a otaczającym go powietrzem.

Dla praktycznych przykładów ruchu wahadła okres i prędkość zależą od rodzaju zastosowanego materiału, który spowodowałby te przykłady tarcia i oporu powietrza. Jeśli wykonasz obliczenia teoretycznego zachowania oscylacyjnego wahadła bez uwzględnienia tych sił, wówczas uwzględni ono wahadło oscylujące w nieskończoność.

Prawa Newtona w wahadłach

Pierwsze prawo Newtona określa prędkość obiektów w odpowiedzi na siły. Prawo stanowi, że jeśli obiekt porusza się z określoną prędkością i po linii prostej, będzie nadal poruszał się z tą prędkością i po linii prostej, nieskończenie, dopóki żadna inna siła na nią nie działa. Wyobraź sobie rzucanie piłką prosto do przodu - piłka krążyłaby wokół Ziemi w kółko, gdyby opór powietrza i grawitacja nie działały na nią. Prawo to pokazuje, że ponieważ wahadło porusza się na boki, a nie w górę i w dół, nie działa na niego żadna siła w górę i w dół.

Drugie prawo Newtona jest używane do określania siły netto na wahadle poprzez ustawienie siły grawitacji równej sile cięgna, która ciągnie się z powrotem na wahadle. Ustawienie tych równań równych sobie pozwala na wyprowadzenie równań ruchu dla wahadła.

Trzecie prawo Newtona mówi, że każde działanie ma reakcję o jednakowej sile. To prawo działa z pierwszym prawem pokazującym, że chociaż masa i grawitacja znoszą składową pionową wektora napięcia struny, nic nie anuluje składowej poziomej. To prawo pokazuje, że siły działające na wahadło mogą się znosić.

Fizycy wykorzystują prawa Newtona, pierwsze, drugie i trzecie, aby udowodnić, że napięcie sznurka w poziomie porusza wahadło bez względu na masę lub grawitację. Prawa prostego wahadła podążają za ideami Newtona, trzema prawami ruchu.