Zawartość
W rzeczywistości, parabola to łuk, który tworzy piłka, gdy ją rzucasz, lub charakterystyczny kształt anteny satelitarnej. Pod względem matematycznym parabola, którą otrzymujesz, przecinając solidny stożek pod kątem równoległym do jednego z jego boków, dlatego jest znana jako jedna z „sekcji stożkowych”. Najłatwiejszym sposobem znalezienia równania paraboli jest wykorzystanie wiedzy o specjalnym punkcie zwanym wierzchołkiem, który znajduje się na samej paraboli.
Rozpoznawanie formuły paraboli
Jeśli zobaczysz równanie kwadratowe w dwóch zmiennych, formularza y = ax2 + bx + c, gdzie ≠ 0, to gratulacje! Znalazłeś parabolę. Równanie kwadratowe jest czasem znane również jako formuła paraboli w „formie standardowej”.
Ale jeśli pokazano Ci wykres paraboli (lub podano trochę informacji o paraboli w formacie „word word”), będziesz chciał napisać swoją parabolę w tak zwanej formie wierzchołka, która wygląda następująco:
y = a (x - h)2 + k (jeśli parabola otwiera się pionowo)
x = a (y - k)2 + h (jeśli parabola otwiera się poziomo)
Jaki jest wierzchołek paraboli?
W obu formach współrzędne (h, k) reprezentują wierzchołek paraboli, czyli punkt, w którym oś symetrii paraboli przecina linię samej paraboli. Innymi słowy, jeśli złożyłbyś parabolę na pół w połowie środka, wierzchołek byłby „szczytem” paraboli, dokładnie tam, gdzie przecinałby fałd papieru.
Znalezienie równania paraboli
Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie równania paraboli, zostaniesz poinformowany o wierzchołku paraboli i co najmniej jednym innym punkcie na niej, lub dostaniesz wystarczającą ilość informacji, aby je zrozumieć. Po uzyskaniu tych informacji możesz znaleźć równanie paraboli w trzech krokach.
Zróbmy przykładowy problem, aby zobaczyć, jak to działa. Wyobraź sobie, że otrzymujesz parabolę w formie wykresu. Powiedziano ci, że wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie (1,2), że otwiera się w pionie i że innym punktem na paraboli jest (3,5). Jakie jest równanie paraboli?
Twoim pierwszym priorytetem musi być decyzja, jakiej formy równania wierzchołków użyjesz. Pamiętaj, że jeśli parabola otwiera się pionowo (co może oznaczać, że otwarta strona U jest skierowana w górę lub w dół), użyjesz tego równania:
y = a (x - h)2 + k
A jeśli parabola otwiera się poziomo (co może oznaczać otwartą stronę U skierowaną w prawo lub w lewo), użyjesz tego równania:
x = a (y - k)2 + h
Ponieważ przykładowa parabola otwiera się w pionie, skorzystajmy z pierwszego równania.
Następnie zamień współrzędne wierzchołka parabol (h, k) na formułę wybraną w kroku 1. Ponieważ wiesz, że wierzchołek ma wartość (1,2), podstawisz h = 1 i k = 2, co daje następujące :
y = a (x - 1)2 + 2
Ostatnią rzeczą, którą musisz zrobić, to znaleźć wartość za. Aby to zrobić, wybierz dowolny punkt (x, y) na paraboli, o ile ten punkt nie jest wierzchołkiem, i zastąp go równaniem.
W tym przypadku podano już współrzędne dla innego punktu na wierzchołku: (3,5). Więc podstawisz x = 3 i y = 5, co daje:
5 = a (3–1)2 + 2
Teraz wystarczy rozwiązać to równanie za. Nieznaczne uproszczenie pozwala uzyskać:
5 = a (2)2 + 2, które można dodatkowo uprościć:
5 = a (4) + 2, co z kolei staje się:
3 = a (4), i w końcu:
a = 3/4
Teraz, gdy znalazłeś wartość za, wstaw go do równania, aby zakończyć przykład:
y = (3/4) (x - 1)2 + 2 jest równaniem paraboli z wierzchołkiem (1,2) i zawierającym punkt (3,5).