Zawartość
Rozkład dwumianowy opisuje zmienną X, jeżeli 1) istnieje stała liczba n obserwacje zmiennej; 2) wszystkie obserwacje są od siebie niezależne; 3) prawdopodobieństwo sukcesu p jest taki sam dla każdej obserwacji; oraz 4) każda obserwacja przedstawia dokładnie jeden z dwóch możliwych wyników (stąd słowo „dwumianowy” - pomyśl „binarny”). Ta ostatnia kwalifikacja odróżnia rozkłady dwumianowe od rozkładów Poissona, które zmieniają się w sposób ciągły, a nie dyskretny.
Taki rozkład można zapisać B (n, p).
Obliczanie prawdopodobieństwa danej obserwacji
Powiedzmy, że wartość k leży gdzieś na wykresie rozkładu dwumianowego, który jest symetryczny względem średniej np. Aby obliczyć prawdopodobieństwo, że obserwacja będzie miała tę wartość, równanie to należy rozwiązać:
P (X = k) = (n: k) pk(1-p)(n-k)
gdzie (n: k) = (n!) ÷ (k!) (n - k)!
„!” oznacza funkcję czynnikową, np. 27! = 27 x 26 x 25 x ... x 3 x 2 x 1.
Przykład
Powiedzmy, że koszykarz wykonuje 24 rzuty wolne i ma ustalony wskaźnik skuteczności na poziomie 75 procent (p = 0,75). Jakie są szanse, że trafi dokładnie 20 ze swoich 24 strzałów?
Najpierw oblicz (n: k) w następujący sposób:
(n!) ÷ (k!) (n - k)! = 24! ÷ (20!) (4!) = 10626
pk = (0.75)20 = 0.00317
(1-p) (n-k) = (0.25)4 = 0.00390
Zatem P (20) = (10626) (0,00317) (0,00390) = 0,1314.
Gracz ten ma zatem 13,1 procent szans na wykonanie dokładnie 20 z 24 rzutów wolnych, zgodnie z tym, co intuicja może sugerować na temat gracza, który zwykle trafiłby 18 z 24 rzutów wolnych (ze względu na ustalony wskaźnik sukcesu wynoszący 75 procent).