Zawartość
Kiedy zaczniesz rozwiązywać równania algebraiczne, które dotyczą wielomianów, bardzo przydatna staje się umiejętność rozpoznawania specjalnych, łatwych do faktoryzacji form wielomianów. Jednym z najbardziej użytecznych wielomianów „łatwych” do znalezienia jest idealny kwadrat lub trójmian powstały z kwadratu dwumianu. Po zidentyfikowaniu idealnego kwadratu faktoryzacja go w poszczególnych komponentach jest często istotną częścią procesu rozwiązywania problemów.
Identyfikacja idealnych kwadratowych trójmianów
Zanim zdołasz wziąć pod uwagę idealny kwadratowy trójmian, musisz nauczyć się go rozpoznawać. Idealny kwadrat może przybierać dowolną z dwóch form:
Niektóre przykłady idealnych kwadratów, które można zobaczyć w „prawdziwym świecie” problemów matematycznych, obejmują:
Jaki jest klucz do rozpoznania tych idealnych kwadratów?
Sprawdź pierwszy i trzeci warunek trójmianu. Czy oba są kwadratami? Jeśli tak, dowiedz się, co to są kwadraty. Na przykład w drugim podanym powyżej przykładzie „świata rzeczywistego” y2 - 2_y_ + 1, termin y2 jest oczywiście kwadratem y. Pojęcie 1 jest, być może mniej oczywiste, kwadratem 1, ponieważ 12 = 1.
Pomnóż korzenie pierwszego i trzeciego terminu razem. Aby kontynuować przykład, to jest y i 1, co daje ci y × 1 = 1_y_ lub po prostu y.
Następnie pomnóż swój produkt przez 2. Kontynuując przykład, masz 2_y._
Na koniec porównaj wynik ostatniego kroku ze środkową częścią wielomianu. Czy oni pasują? W wielomianu y2 - 2_y_ + 1, tak. (Znak jest nieistotny; itd. Również pasują do siebie, jeśli termin średni to + 2_y_.)
Ponieważ odpowiedź w kroku 1 brzmiała „tak”, a wynik z kroku 2 pasuje do środkowego członu wielomianu, wiesz, że patrzysz na idealny kwadratowy trójmian.
Faktoring idealnego kwadratowego trójmianu
Kiedy już wiesz, że patrzysz na idealny kwadratowy trójmian, proces faktoryzowania go jest dość prosty.
Zidentyfikuj pierwiastki lub liczby do kwadratu w pierwszym i trzecim członie trójmianu. Zastanów się nad innym z przykładowych trójmianów, o których wiesz, że to idealny kwadrat, x2 + 8_x_ + 16. Oczywiście liczba kwadratowa w pierwszym semestrze to x. Liczba w kwadracie w trzecim członie wynosi 4, ponieważ 42 = 16.
Wróć do wzorów, aby uzyskać idealne kwadratowe trójnogi. Wiesz, że twoje czynniki przyjmą albo formę (za + b)(za + b) lub formularz (za – b)(za – b), gdzie za i b są liczbami do kwadratu w pierwszym i trzecim członie. Możesz więc zapisać swoje czynniki w ten sposób, pomijając na razie znaki w środku każdego terminu:
(za ? b)(za ? b) = za2 ? 2_ab_ + b2
Aby kontynuować przykład, zastępując pierwiastki obecnego trójmianu, masz:
(x ? 4)(x ? 4) = x2 + 8_x_ + 16
Sprawdź środkowy człon trójmianu. Czy ma znak dodatni lub ujemny (czy, inaczej mówiąc, jest dodawany lub odejmowany)? Jeśli ma znak dodatni (lub jest dodawany), oba czynniki trójmianu mają znak plus na środku. Jeśli ma znak ujemny (lub jest odejmowany), oba czynniki mają znak ujemny pośrodku.
Środkowy element bieżącego przykładowego trójmianu to 8_x_ - jego wartość dodatnia - więc teraz uwzględniłeś idealny kwadratowy trójmian:
(x + 4)(x + 4) = x2 + 8_x_ + 16
Sprawdź swoją pracę, mnożąc razem dwa czynniki. Zastosowanie FOIL lub pierwszej, zewnętrznej, wewnętrznej, ostatniej metody daje:
x2 + 4_x_ + 4_x_ + 16
Uproszczenie tego daje wynik x2 + 8_x_ + 16, co pasuje do twojego trójmianu. Więc czynniki są poprawne.