Zawartość
- Definicja bezwzględnej nierówności wartości
- Jak rozwiązać nierówność wartości bezwzględnej
- Bezwzględne nierówności wartości bez rozwiązania
- Notacja interwałowa
Rozwiązywanie nierówności wartości bezwzględnej przypomina rozwiązywanie równań wartości bezwzględnej, ale należy pamiętać o kilku dodatkowych szczegółach. Pomaga już w rozwiązywaniu równań wartości bezwzględnej, ale dobrze jest, jeśli uczysz się ich razem!
Definicja bezwzględnej nierówności wartości
Przede wszystkim nierówność wartości bezwzględnej jest nierównością, która obejmuje wyrażenie wartości bezwzględnej. Na przykład,
| 5 + x | - 10> 6 jest nierównością wartości bezwzględnej, ponieważ ma znak nierówności,> i wyrażenie wartości bezwzględnej, | 5 + x |.
Jak rozwiązać nierówność wartości bezwzględnej
The kroki w celu rozwiązania nierówności wartości bezwzględnej są bardzo podobne do kroków rozwiązywania równania wartości bezwzględnej:
Krok 1: Wyizoluj wyrażenie wartości bezwzględnej po jednej stronie nierówności.
Krok 2: Rozwiąż pozytywną „wersję” nierówności.
Krok 3: Rozwiąż negatywną „wersję” nierówności, mnożąc ilość po drugiej stronie nierówności przez -1 i odwracając znak nierówności.
To bardzo dużo do zrobienia naraz, więc oto przykład, który przeprowadzi cię przez kolejne etapy.
Rozwiąż nierówność dla x: | 5 + 5_x_ | - 3> 2.
Aby to zrobić, zdobądź | 5 + 5_x_ | sama w sobie po lewej stronie nierówności. Wszystko, co musisz zrobić, to dodać 3 do każdej strony:
| 5 + 5_x_ | - 3 (+ 3)> 2 (+ 3)
| 5 + 5_x_ | > 5.
Teraz są dwie „wersje” nierówności, które musimy rozwiązać: pozytywna „wersja” i negatywna „wersja”.
Na tym etapie załóżmy, że rzeczy wyglądają tak, jak się wydają: że 5 + 5_x_> 5.
| 5 + 5_x_ | > 5 → 5 + 5_x_> 5.
To prosta nierówność; po prostu musisz rozwiązać x jak zwykle. Odejmij 5 z obu stron, a następnie podziel obie strony przez 5.
5 + 5_x_> 5
5 + 5_x_ (- 5)> 5 (- 5) (odejmij pięć z obu stron)
5_x_> 0
5_x_ (÷ 5)> 0 (÷ 5) (podziel obie strony przez pięć)
x > 0.
Nie jest zły! Jednym z możliwych rozwiązań naszej nierówności jest to x > 0. Teraz, ponieważ wiążą się z tym wartości bezwzględne, czas rozważyć inną możliwość.
Aby zrozumieć ten następny fragment, pomaga zapamiętać, co oznacza wartość bezwzględna. Całkowita wartość mierzy odległość liczb od zera. Odległość jest zawsze dodatnia, więc 9 to dziewięć jednostek od zera, ale −9 to także dziewięć jednostek od zera.
Więc | 9 | = 9, ale | −9 | = 9 również.
Wróćmy do powyższego problemu. Powyższe prace wykazały, że | 5 + 5_x_ | > 5; innymi słowy, bezwzględna wartość „czegoś” jest większa niż pięć. Teraz każda liczba dodatnia większa niż pięć będzie dalej od zera niż pięć. Pierwszą opcją było to, że „coś” 5 + 5_x_ jest większe niż 5.
To znaczy: 5 + 5_x_> 5.
Taki scenariusz omówiono powyżej, w kroku 2.
Teraz pomyśl trochę dalej. Co jeszcze jest pięć jednostek od zera? Cóż, minus pięć to. I wszystko dalej wzdłuż linii liczbowej od piątej ujemnej będzie jeszcze dalej od zera. Zatem naszym „czymś” może być liczba ujemna, która jest dalej od zera niż pięć ujemna. Oznacza to, że byłby to bardziej brzmiący numer, ale technicznie mniej niż pięć ujemnych, ponieważ porusza się w kierunku ujemnym na linii liczbowej.
Zatem nasze „coś” 5 + 5x może być mniejsze niż -5.
5 + 5_x_ <−5
Szybkim sposobem na zrobienie tego algebraicznie jest pomnożenie ilości po drugiej stronie nierówności, 5, przez ujemną, a następnie odwrócenie znaku nierówności:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5_x_ <- 5
Następnie rozwiąż jak zwykle.
5 + 5_x_ <-5
5 + 5_x_ (−5) <−5 (- 5) (odejmij 5 z obu stron)
5_x_ <−10
5_x_ (÷ 5) <−10 (÷ 5)
x < −2.
Tak więc są dwa możliwe rozwiązania nierówności x > 0 lub x <−2. Sprawdź się, podłączając kilka możliwych rozwiązań, aby upewnić się, że nierówność nadal obowiązuje.
Bezwzględne nierówności wartości bez rozwiązania
Jest taki scenariusz brak rozwiązań bezwzględnej nierówności wartości. Ponieważ wartości bezwzględne są zawsze dodatnie, nie mogą być równe ani mniejsze niż liczby ujemne.
Więc | x | <-2 ma brak rozwiązania ponieważ wynik wyrażenia wartości bezwzględnej musi być dodatni.
Notacja interwałowa
Aby napisać rozwiązanie naszego głównego przykładu w notacja przedziałowa, pomyśl o tym, jak rozwiązanie wygląda na linii liczbowej. Nasze rozwiązanie było x > 0 lub x <−2. Na linii liczbowej, to jest otwarta kropka w 0, z linią rozciągającą się do dodatniej nieskończoności i otwarta kropka w -2, z linią rozciągającą się do ujemnej nieskończoności. Rozwiązania te są skierowane od siebie, a nie ku sobie, dlatego każdy element należy wziąć osobno.
Dla x> 0 na linii liczbowej jest otwarta kropka na zero, a następnie linia rozciągająca się do nieskończoności. W notacji przedziałowej otwarta kropka jest zilustrowana nawiasami, (), a kropka zamknięta, lub nierówności z ≥ lub ≤, użyłyby nawiasów,. Więc dla x > 0, napisz (0, ∞).
Druga połowa, x <−2, na linii liczbowej jest otwarta kropka na −2, a następnie strzałka rozciągająca się aż do ∞. W notacji interwałowej to jest (∞∞, −2).
„Lub” w notacji przedziałowej jest znakiem związku, ∪.
Tak więc rozwiązaniem w notacji interwałowej jest (∞∞, −2) ∪ (0, ∞).