Jak znaleźć kąt między przekątnymi kostki

Gdyby wziąć kwadrat i narysować dwie linie po przekątnej, przecinałyby się one w środku i tworzyłyby cztery prawe trójkąty. Dwie przekątne krzyżują się pod kątem 90 stopni. Można intuicyjnie zgadywać, że dwie przekątne sześcianu, każde biegnące od jednego rogu sześcianu do przeciwnego rogu i przecinające się w środku, również krzyżowałyby się pod kątem prostym. Mylisz się. Określenie kąta, pod którym krzyżują się dwie przekątne w sześcianie, jest nieco bardziej skomplikowane, niż mogłoby się to wydawać na pierwszy rzut oka, ale stanowi doskonałą praktykę w zrozumieniu zasad geometrii i trygonometrii.

Zdefiniuj długość krawędzi jako jedną jednostkę. Z definicji każda krawędź sześcianu ma identyczną długość jednej jednostki.

Użyj twierdzenia Pitagorasa, aby określić długość przekątnej biegnącej od jednego rogu do przeciwnego rogu tej samej powierzchni. Nazwij to „krótką przekątną” dla zachowania przejrzystości. Każdy bok utworzonego prawego trójkąta to jedna jednostka, więc przekątna musi być równa √2.

Użyj twierdzenia Pitagorasa, aby określić długość przekątnej biegnącej od jednego rogu do przeciwnego rogu przeciwnej powierzchni. Nazwij to „długą przekątną”. Masz prostokątny trójkąt z jednym bokiem równym 1 jednostce i jednym bokiem równym „krótkiej przekątnej” units2 jednostkami. Kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów boków, więc przeciwprostokątna musi wynosić √3. Każda przekątna biegnąca od jednego rogu sześcianu do przeciwległego rogu ma długość około 3 jednostek.

Narysuj prostokąt reprezentujący dwie długie przekątne przecinające się pośrodku sześcianu. Chcesz znaleźć kąt ich przecięcia. Prostokąt będzie miał wysokość 1 jednostki i szerokość √2 jednostki. Długie przekątne przecinają się w środku tego prostokąta i tworzą dwa różne typy trójkątów. Jeden z tych trójkątów ma jeden bok równy jednej jednostce, a pozostałe dwa boki równe √3 / 2 (połowa długości długiej przekątnej). Drugi ma również dwie strony równe √3 / 2, ale jego druga strona jest równa √2. Musisz tylko przeanalizować jeden z trójkątów, więc weź pierwszy i rozwiąż pod nieznanym kątem.

Użyj wzoru trygonometrycznego c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab cos C, aby rozwiązać dla nieznanego kąta tego trójkąta. C = 1, a zarówno aib są równe √3 / 2. Wstawiając te wartości do równania, ustalisz, że cosinus twojego nieznanego kąta wynosi 1/3. Biorąc odwrotny cosinus 1/3 daje kąt 70,5 stopnia.