Zawartość
W matematyce sekwencją jest dowolny ciąg liczb ułożonych w kolejności rosnącej lub malejącej. Sekwencja staje się sekwencją geometryczną, gdy można uzyskać każdą liczbę, mnożąc poprzednią liczbę przez wspólny czynnik. Na przykład seria 1, 2, 4, 8, 16. . . jest sekwencją geometryczną ze wspólnym współczynnikiem 2. Jeśli pomnożysz dowolną liczbę w szeregu przez 2, otrzymasz następną liczbę. Natomiast sekwencja 2, 3, 5, 8, 14, 22. . . nie jest geometryczna, ponieważ nie ma wspólnego czynnika między liczbami. Sekwencja geometryczna może mieć ułamkowy wspólny czynnik, w którym to przypadku każda kolejna liczba jest mniejsza niż poprzednia. 1, 1/2, 1/4, 1/8. . . jest przykładem. Jego wspólnym czynnikiem jest 1/2.
Fakt, że sekwencja geometryczna ma wspólny czynnik, pozwala zrobić dwie rzeczy. Pierwszym z nich jest obliczenie dowolnego losowego elementu w sekwencji (który matematycy lubią nazywać „nth” elementem), a drugim jest znalezienie sumy sekwencji geometrycznej do n-tego elementu. Gdy sumujesz sekwencję poprzez umieszczenie znaku plus między każdą parą terminów, zamieniasz sekwencję w szereg geometryczny.
Znalezienie n-tego elementu w szeregu geometrycznym
Zasadniczo możesz przedstawić dowolną serię geometryczną w następujący sposób:
a + ar + ar2 + ar3 + ar4 . . .
gdzie „a” jest pierwszym terminem w serii, a „r” jest wspólnym czynnikiem. Aby to sprawdzić, rozważ serię, w której a = 1 i r = 2. Otrzymujesz 1 + 2 + 4 + 8 + 16. . . to działa!
Po ustaleniu tego, można teraz uzyskać wzór na n-ty termin w sekwencji (xn).
xn = ar(n-1)
Wykładnik to n - 1 zamiast n, aby umożliwić zapisanie pierwszego składnika w sekwencji jako ar0, co równa się „a.”
Sprawdź to, obliczając 4. termin z przykładowej serii.
x4 = (1) • 23 = 8.
Obliczanie sumy sekwencji geometrycznej
Jeśli chcesz zsumować rozbieżną sekwencję, czyli taką, której wspólna racja jest większa niż 1 lub mniejsza niż -1, możesz to zrobić tylko do skończonej liczby terminów. Można jednak obliczyć sumę nieskończonej zbieżnej sekwencji, która jest jedną ze wspólnym stosunkiem między 1 a -1.
Aby opracować wzór sumy geometrycznej, zacznij od zastanowienia się, co robisz. Szukasz łącznie następującej serii dodatków:
a + ar + ar2 + ar3 +. . . ar(n-1)
Każdy termin w serii to ark, a k zmienia się od 0 do n-1. Wzór na sumę szeregu wykorzystuje znak sigmy kapitałowej - ∑ - co oznacza dodanie wszystkich wyrażeń od (k = 0) do (k = n - 1).
.Ark = a
Aby to sprawdzić, rozważ sumę pierwszych 4 składników szeregu geometrycznego rozpoczynających się od 1 i mających wspólny współczynnik 2. W powyższym wzorze a = 1, r = 2 i n = 4. Podłączając te wartości, należy otrzymać:
1 • = 15
Łatwo to zweryfikować, samodzielnie dodając liczby z serii. W rzeczywistości, gdy potrzebujesz sumy szeregu geometrycznego, zwykle łatwiej jest samodzielnie dodać liczby, gdy jest tylko kilka terminów. Jeśli seria ma wiele terminów, o wiele łatwiej jest użyć wzoru sumy geometrycznej.