Zawartość
Możliwość obliczenia średniej lub średniej wartości grupy liczb jest ważna w każdym aspekcie życia. Jeśli jesteś profesorem, który przypisuje oceny literowe do egzaminów i tradycyjnie przyznaje ocenę B do średniej oceny, musisz wyraźnie wiedzieć, jak wygląda środek paczki. Potrzebujesz także sposobu na identyfikację wyników jako wartości odstające, abyś mógł określić, kiedy ktoś zasługuje na A lub A + (oczywiście poza wynikami doskonałymi), a także na to, co zasługuje na ocenę negatywną.
Z tego i powiązanych powodów pełne dane na temat średnich zawierają informacje o tym, jak ogólnie skupione są wokół średniego wyniku, jakie są wyniki. Informacje te są przekazywane za pomocą odchylenie standardowe i, odpowiednio, zmienność próby statystycznej.
Miary zmienności
Prawie na pewno słyszałeś lub widziałeś termin „średni” używany w odniesieniu do zestawu liczb lub punktów danych i prawdopodobnie masz pojęcie, co to tłumaczy w języku codziennym. Na przykład, jeśli przeczytasz, że średni wzrost kobiety w Ameryce wynosi około 5 4 ”, natychmiast dochodzisz do wniosku, że„ średnia ”oznacza„ typowo ”, i że około połowa kobiet w Stanach Zjednoczonych jest wyższa niż ta, podczas gdy około połowa są krótsze.
Matematycznie średnia i średnia to dokładnie to samo: dodajesz wartości w zestawie i dzielisz przez liczbę elementów w zestawie. Na przykład, jeśli grupa 25 wyników w teście na 10 pytań mieści się w zakresie od 3 do 10 i sumuje się do 196, średnia (średnia) ocena wynosi 196/25 lub 7,84.
Mediana jest wartością środkową w zestawie, liczbą, o której połowa wartości leży powyżej, a połowa wartości poniżej. Zwykle jest zbliżona do średniej (średniej), ale to nie to samo.
Formuła wariancji
Jeśli spojrzysz na zestaw 25 wyników takich jak te powyżej i zobaczysz prawie nic poza wartościami 7, 8 i 9, intuicyjnie wydaje się, że średnia powinna wynosić około 8. Ale co, jeśli zobaczysz prawie nic oprócz wyników 6 i 10 ? Lub pięć wyników 0 i 20 wyników 9 lub 10? Wszystkie z nich mogą dawać tę samą średnią.
Wariancja jest miarą tego, jak szeroko punkty w zbiorze danych są rozłożone wokół średniej. Aby ręcznie obliczyć wariancję, należy wziąć różnicę arytmetyczną między każdym punktem danych a średnią, obliczyć je, dodać sumę kwadratów i podzielić wynik przez jeden mniej niż liczbę punktów danych w próbce. Przykład tego podano później. Możesz także używać programów takich jak Excel lub stron internetowych, takich jak Rapid Tables (patrz Zasoby dla dodatkowych witryn).
Wariancja jest oznaczona przez σ2, grecka „sigma” z wykładnikiem 2.
Odchylenie standardowe
Odchylenie standardowe próbki jest po prostu pierwiastkiem kwadratowym wariancji. Powodem, dla którego kwadraty są używane przy obliczaniu wariancji, jest to, że jeśli po prostu zsumujesz poszczególne różnice między średnią a każdym pojedynczym punktem danych, suma jest zawsze równa zero, ponieważ niektóre z tych różnic są dodatnie, a niektóre ujemne, i wzajemnie się znoszą. . Kwadratowanie każdego terminu eliminuje tę pułapkę.
Próbka wariancji i odchylenia standardowego
Załóżmy, że otrzymałeś 10 punktów danych:
4, 7, 10, 5, 7, 6, 9, 8, 5, 9
Znajdź średnią, wariancję i odchylenie standardowe.
Najpierw dodaj 10 wartości razem i podziel przez 10, aby uzyskać średnią (średnią):
70/10 = 7.0
Aby uzyskać wariancję, wyrównaj różnicę między każdym punktem danych a średnią, dodaj je razem i podziel wynik przez (10–1) lub 9:
9 + 0 + 9 + . . . + 4 = 36
σ2= 36/9 = 4.0
Odchylenie standardowe σ to po prostu pierwiastek kwadratowy z 4,0 lub 2,0.