Zawartość
- TL; DR (Too Long; Didnt Read)
- Tożsamości funkcji w stopniach:
- Tożsamości funkcji w radianach
- Dowód tożsamości funkcji
- Kalkulator funkcji
Czy zastanawiałeś się kiedyś, jak powiązane są funkcje trygonometryczne, takie jak sinus i cosinus? Oba są używane do obliczania boków i kątów w trójkątach, ale relacja idzie dalej. Tożsamości funkcji daj nam konkretne formuły, które pokazują, jak konwertować sinus i cosinus, styczną i cotangens oraz secans i cosecant.
TL; DR (Too Long; Didnt Read)
Sinus kąta jest równy cosinusowi jego dopełniacza i odwrotnie. Dotyczy to również innych funkcji.
Łatwym sposobem na zapamiętanie, które funkcje są funkcjami, są dwie funkcje wyzwalające kofunkcje jeśli jeden z nich ma przed sobą przedrostek „co”. Więc:
Możemy obliczyć w przód i w tył kofunkcje, stosując tę definicję: Wartość funkcji kąta jest równa wartości kofunkcji dopełniacza.
Brzmi skomplikowanie, ale zamiast mówić o wartości funkcji w ogóle, użyjmy konkretnego przykładu. The sinus kąta równa się cosinus jego uzupełnienia. To samo dotyczy innych kofunkcji: styczna kąta jest równa cotangensowi jego dopełniacza.
Pamiętaj: dwa kąty są uzupełnia jeśli sumują się do 90 stopni.
Tożsamości funkcji w stopniach:
(Zauważ, że 90 ° - x daje nam dopełnienie kątów.)
sin (x) = cos (90 ° - x)
cos (x) = sin (90 ° - x)
tan (x) = łóżeczko (90 ° - x)
łóżeczko (x) = tan (90 ° - x)
sec (x) = csc (90 ° - x)
csc (x) = s (90 ° - x)
Tożsamości funkcji w radianach
Pamiętaj, że możemy również pisać rzeczy pod względem radianów, która jest jednostką SI do pomiaru kątów. Dziewięćdziesiąt stopni to to samo, co π / 2 radianów, więc możemy także zapisać tożsamości funkcji:
sin (x) = cos (π / 2 - x)
cos (x) = sin (π / 2 - x)
tan (x) = łóżeczko (π / 2 - x)
łóżeczko (x) = tan (π / 2 - x)
sec (x) = csc (π / 2 - x)
csc (x) = sec (π / 2 - x)
Dowód tożsamości funkcji
Brzmi nieźle, ale jak możemy udowodnić, że to prawda? Testowanie go samemu na kilku przykładowych trójkątach może pomóc ci poczuć się pewnie, ale jest też bardziej rygorystyczny dowód algebraiczny. Pozwala udowodnić tożsamość funkcji sinus i cosinus. Pracowaliśmy w radianach, ale to tak samo, jak przy użyciu stopni.
Dowód: sin (x) = cos (π / 2 - x)
Przede wszystkim sięgnij pamięcią do tej formuły, ponieważ zamierzamy użyć jej w naszym dowodzie:
cos (A - B) = cos (A) cos (B) + sin (A) sin (B)
Rozumiem? DOBRZE. Teraz udowodnijmy: sin (x) = cos (π / 2 - x).
Możemy przepisać cos (π / 2 - x) w następujący sposób:
cos (π / 2 - x) = cos (π / 2) cos (x) + sin (π / 2) sin (x)
cos (π / 2 - x) = 0 cos (x) + 1 sin (x), ponieważ znamy cos (π / 2) = 0 i sin (π / 2) = 1.
cos (π / 2 - x) = sin (x).
Ta-da! Teraz udowodnijmy to za pomocą cosinusa!
Dowód: cos (x) = sin (π / 2 - x)
Kolejny wybuch z przeszłości: pamiętasz tę formułę?
sin (A - B) = sin (A) cos (B) - cos (A) sin (B).
Mieliśmy go użyć. Teraz udowodnijmy: cos (x) = sin (π / 2 - x).
Możemy przepisać sin (π / 2 - x) w następujący sposób:
sin (π / 2 - x) = sin (π / 2) cos (x) - cos (π / 2) sin (x)
sin (π / 2 - x) = 1 cos (x) - 0 sin (x), ponieważ znamy sin (π / 2) = 1 i cos (π / 2) = 0.
sin (π / 2 - x) = cos (x).
Kalkulator funkcji
Wypróbuj kilka przykładów samodzielnej pracy z kofunkcjami. Ale jeśli utkniesz, Math Celebrity ma kalkulator funkcji, który pokazuje krok po kroku rozwiązania problemów z funkcją.
Miłego liczenia!