Jak znaleźć pierwiastki wielomianu

Zawartość

• Ile korzeni?
• Ostrzeżenia
• Znajdź rootowanie poprzez faktoring: Przykład 1
• Znajdź rootowanie przez faktoring: Przykład 2
• Znajdź rootowanie przez wykresy

Pierwiastki wielomianu są również nazywane zerami, ponieważ pierwiastkami są x wartości, przy których funkcja jest równa zero. Jeśli chodzi o znalezienie korzeni, masz do dyspozycji wiele technik; faktoring to metoda, której najczęściej będziesz używać, chociaż wykresy mogą być również przydatne.

Ile korzeni?

Zbadaj najwyższy stopień wielomianu - to znaczy termin o najwyższym wykładniku. Ten wykładnik określa liczbę pierwiastków wielomianu. Jeśli więc najwyższy wykładnik wielomianu wynosi 2, będzie miał dwa pierwiastki; jeśli najwyższym wykładnikiem jest 3, będą miały trzy pierwiastki; i tak dalej.

Ostrzeżenia

Znajdź rootowanie poprzez faktoring: Przykład 1

Najbardziej wszechstronnym sposobem znalezienia pierwiastków jest jak największe uwzględnienie wielomianu, a następnie ustawienie każdego terminu na zero. Ma to o wiele więcej sensu po przejrzeniu kilku przykładów. Rozważ prosty wielomian x² - 4_x: _

Krótkie badanie pokazuje, że możesz to uwzględnić x z obu warunków wielomianu, co daje:

x(x – 4)

Ustaw każdy termin na zero. Oznacza to rozwiązanie dwóch równań:

x = 0 to pierwszy składnik ustawiony na zero, a

x - 4 = 0 to drugi człon ustawiony na zero.

Masz już rozwiązanie pierwszego semestru. Jeśli x = 0, wtedy całe wyrażenie jest równe zero. Więc x = 0 jest jednym z pierwiastków lub zer wielomianu.

Teraz rozważ drugi termin i rozwiąż problem x. Jeśli dodasz 4 do obu stron, będziesz mieć:

x - 4 + 4 = 0 + 4, co upraszcza:

x = 4. Więc jeśli x = 4, wówczas drugi czynnik jest równy zero, co oznacza, że ​​cały wielomian jest równy zeru.

Ponieważ pierwotny wielomian był drugiego stopnia (najwyższy wykładnik wynosił dwa), wiesz, że istnieją tylko dwa możliwe pierwiastki dla tego wielomianu. Znaleźliście już oba, więc wystarczy je wymienić:

x = 0, x = 4

Znajdź rootowanie przez faktoring: Przykład 2

Oto jeszcze jeden przykład, jak znaleźć korzenie poprzez faktoring, używając po drodze fantazyjnej algebry. Rozważ wielomian x⁴ - 16. Szybkie spojrzenie na jego wykładniki pokazuje, że dla tego wielomianu powinny być cztery pierwiastki; teraz czas je znaleźć.

Czy zauważyłeś, że ten wielomian można zapisać jako różnicę kwadratów? Więc zamiast x⁴ - 16, masz:

(x²)² – 4²

Co, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów, dzieli się na następujące:

(x² – 4)(x² + 4)

Pierwszy termin to znowu różnica kwadratów. Tak więc, mimo że nie możesz dalej uwzględniać terminu z prawej strony, możesz to zrobić jeszcze z lewej strony:

(x – 2)(x + 2)(x² + 4)

Teraz czas znaleźć zera. Szybko staje się jasne, że jeśli x = 2, pierwszy czynnik będzie równy zero, a zatem całe wyrażenie będzie równe zero.

Podobnie jeśli x = -2, drugi czynnik będzie równy zero, a więc i całe wyrażenie.

Więc x = 2 i x = -2 są zerami lub pierwiastkami tego wielomianu.

Ale co z tym ostatnim terminem? Ponieważ ma wykładnik „2”, powinien mieć dwa pierwiastki. Ale nie możesz uwzględnić tego wyrażenia, używając liczb rzeczywistych, do których byłeś przyzwyczajony. Musisz użyć bardzo zaawansowanej koncepcji matematycznej zwanej liczbą urojoną lub, jeśli wolisz, liczbą zespoloną. To znacznie wykracza poza zakres bieżącej praktyki matematycznej, więc na razie wystarczy zauważyć, że masz dwa prawdziwe pierwiastki (2 i -2) i dwa wyobrażone pierwiastki, których nie zdefiniujesz.

Znajdź rootowanie przez wykresy

Możesz także znaleźć, lub przynajmniej oszacować, pierwiastki poprzez grafowanie. Każdy pierwiastek reprezentuje miejsce, w którym wykres funkcji przecina x oś. Więc jeśli narysujesz wykres linii, a następnie zwróć uwagę na x współrzędne w miejscu przecięcia linii x oś, możesz wstawić oszacowanie x wartości tych punktów do równania i sprawdź, czy je poprawiłeś.

Rozważ pierwszy przykład, w którym pracowałeś, dla wielomianu x² - 4_x_. Jeśli wyciągniesz go ostrożnie, zobaczysz, że linia przecina x oś w x = 0 i x = 4. Jeśli wprowadzisz każdą z tych wartości do pierwotnego równania, otrzymasz:

0² - 4 (0) = 0, więc x = 0 było prawidłowym zerem lub pierwiastkiem dla tego wielomianu.

4² - 4 (4) = 0, więc x = 4 jest również prawidłowym zerem lub pierwiastkiem dla tego wielomianu. A ponieważ wielomian miał stopień 2, wiesz, że możesz przestać szukać po znalezieniu dwóch pierwiastków.