Jak zracjonalizować mianownik

Zawartość

• TL; DR (Too Long; Didnt Read)
• Racjonalizacja ułamka jednym terminem w mianowniku
• Racjonalizacja ułamka za pomocą dwóch terminów w mianowniku
• Racjonalizacja korzeni kostki

Nie można rozwiązać równania zawierającego ułamek o irracjonalnym mianowniku, co oznacza, że ​​mianownik zawiera termin ze znakiem radykalnym. Obejmuje to pierwiastki kwadratowe, sześcianowe i wyższe. Pozbycie się radykalnego znaku nazywa się racjonalizacją mianownika. Gdy mianownik ma jeden termin, możesz to zrobić, mnożąc górne i dolne terminy przez rodnik. Gdy mianownik ma dwa terminy, procedura jest nieco bardziej skomplikowana. Mnożymy górę i dół przez koniugat mianownika i rozszerzamy i po prostu licznik.

TL; DR (Too Long; Didnt Read)

Aby zracjonalizować ułamek, należy pomnożyć licznik i mianownik przez liczbę lub wyrażenie, które pozbywa się radykalnych znaków w mianowniku.

Racjonalizacja ułamka jednym terminem w mianowniku

Ułamek z pierwiastkiem kwadratowym jednego terminu w mianowniku jest najłatwiejszy do zracjonalizowania. Zasadniczo ułamek przyjmuje postać a / √x. Racjonalizujesz go, mnożąc licznik i mianownik przez √x.

√x / √x • a / √x = a√x / x

Ponieważ wszystko, co zrobiłeś, to pomnóż ułamek przez 1, jego wartość się nie zmieniła.

Przykład:

Racjonalizuj 12 / √6

Pomnóż licznik i mianownik przez √6, aby uzyskać 12√6 / 6. Możesz to uprościć, dzieląc 6 na 12, aby uzyskać 2, więc uproszczoną formą zracjonalizowanego ułamka jest

2√6

Racjonalizacja ułamka za pomocą dwóch terminów w mianowniku

Załóżmy, że masz ułamek w postaci (a + b) / (√x + √y). Możesz pozbyć się radykalnego znaku w mianowniku, mnożąc wyrażenie przez jego koniugat. Dla ogólnego dwumianu postaci x + y koniugatem jest x - y. Po pomnożeniu ich razem otrzymujemy x² - y². Zastosowanie tej techniki do uogólnionej frakcji powyżej:

(a + b) / (√ x - √y) • (√x - √y) / (√x - √y)

(a + b) • (√x - √y) / x - y

Rozwiń licznik, aby uzyskać

(a√x -a√y + b√x - b√y) / x - y

Wyrażenie to staje się mniej skomplikowane, gdy zamienisz liczby całkowite na niektóre lub wszystkie zmienne.

Przykład:

Zracjonalizuj mianownik ułamka 3 / (1 - √y)

Koniugat mianownika wynosi 1 - (-√y) = 1+ √y. Pomnóż licznik i mianownik przez to wyrażenie i uprość:

[3 • (1 + √y)} / 1 - y

(3 + 3√y) / 1 - y

Racjonalizacja korzeni kostki

Kiedy masz pierwiastek sześcienny w mianowniku, musisz pomnożyć licznik i mianownik przez pierwiastek sześcienny kwadratu liczby pod znakiem radykalnym, aby pozbyć się znaku radykalnego w mianowniku. Ogólnie rzecz biorąc, jeśli masz ułamek w postaci a / ³√x, pomnóż góra i dół przez ³.X².

Przykład:

Zracjonalizuj mianownik: 7 / ³.X

Pomnóż licznik i mianownik przez ³.X² dostać

7 • ³.X² / ³•X • ³.X² = 7 • ³.X² / ³.X³

7 • ³.X² / x