Zawartość
Tempo zmian pojawia się wszędzie w nauce, a zwłaszcza w fizyce poprzez takie ilości, jak prędkość i przyspieszenie. Pochodne opisują matematycznie tempo zmian jednej wielkości w stosunku do innej, ale obliczenie ich może być czasem skomplikowane, a może pojawić się wykres, a nie funkcja w postaci równania. Jeśli zostanie wyświetlony wykres krzywej i konieczne będzie znalezienie pochodnej z niego, być może nie będziesz w stanie być tak dokładny jak w przypadku równania, ale możesz łatwo dokonać dokładnej oceny.
TL; DR (Too Long; Didnt Read)
Wybierz punkt na wykresie, aby znaleźć wartość pochodnej w.
W tym punkcie narysuj prostą styczną do krzywej wykresu.
Weź nachylenie tej linii, aby znaleźć wartość pochodnej w wybranym punkcie na wykresie.
Co to jest pochodna?
Poza abstrakcyjnym ustawieniem różnicowania równania możesz być trochę zdezorientowany, czym tak naprawdę jest pochodna. W algebrze pochodna funkcji jest równaniem, które informuje o wartości „nachylenia” funkcji w dowolnym punkcie. Innymi słowy, mówi o tym, o ile jedna zmiana zmienia się przy niewielkiej zmianie w drugiej. Na wykresie gradient lub nachylenie linii mówi, ile zmienna zależna (umieszczona na y-osi) zmiany ze zmienną niezależną (na x-oś).
W przypadku wykresów liniowych określasz (stałą) szybkość zmian, obliczając nachylenie wykresu. Relacje opisane krzywymi nie są tak łatwe do opanowania, ale zasada, że pochodna oznacza po prostu nachylenie (w tym konkretnym punkcie), nadal obowiązuje.
W przypadku zależności opisanych krzywymi pochodna przyjmuje inną wartość w każdym punkcie krzywej. Aby oszacować pochodną wykresu, musisz wybrać punkt, w którym ma być pochodna. Na przykład, jeśli masz wykres pokazujący przebytą odległość w czasie, na wykresie prostoliniowym nachylenie wskazuje stałą prędkość. Dla prędkości, które zmieniają się z czasem, wykres byłby krzywą, ale linia prosta, która dotyka krzywej w jednym punkcie (linia styczna do krzywej) reprezentuje szybkość zmian w tym konkretnym punkcie.
Wybierz miejsce, w którym musisz znać pochodną. Korzystając z przykładu przebytej odległości w funkcji czasu, wybierz czas, w którym chcesz poznać prędkość podróży. Jeśli chcesz poznać prędkość w kilku różnych punktach, możesz przejść przez ten proces dla każdego pojedynczego punktu. Jeśli chcesz poznać prędkość 15 sekund po rozpoczęciu ruchu, wybierz miejsce na krzywej po 15 sekundach na x-oś.
Narysuj linię styczną do krzywej w punkcie, który Cię interesuje. Nie spiesz się, ponieważ jest to najważniejsza i najtrudniejsza część procesu. Twoja ocena będzie lepsza, jeśli narysujesz dokładniejszą linię styczną. Przytrzymaj linijkę do punktu na krzywej i dostosuj jej orientację, tak aby rysowała się linia tylko dotknij krzywej w jednym punkcie, który Cię interesuje.
Narysuj linię tak długo, jak pozwoli na to wykres. Upewnij się, że możesz łatwo odczytać dwie wartości dla obu x i y współrzędne, jedna w pobliżu początku linii i jedna w pobliżu końca. Nie musisz absolutnie rysować długiej linii (technicznie odpowiednia jest każda prosta), ale dłuższe linie wydają się łatwiejsze do zmierzenia nachylenia.
Znajdź dwa miejsca na linii i zanotuj x i y współrzędne dla nich. Na przykład, wyobraź sobie swoją linię styczną jako dwa znaczące punkty w x = 1, y = 3 i x = 10, y = 30, które można nazwać punktem 1 i punktem 2. Za pomocą symboli x1 i y1 reprezentować współrzędne pierwszego punktu i x2 i y2 reprezentować współrzędne drugiego punktu, nachylenie m jest dany przez:
m = (y2 - y1) ÷ (x2 – x1)
To mówi pochodną krzywej w punkcie, w którym linia dotyka krzywej. W przykładzie x1 = 1, x2 = 10, y1 = 3 i y2 = 30, więc:
m = (30 – 3) ÷ (10 – 1)
= 27 ÷ 9
= 3
W tym przykładzie wynikiem byłaby prędkość w wybranym punkcie. Więc jeśli x- oś zmierzono w sekundach i y- oś została zmierzona w metrach, wynik oznaczałby, że pojazd poruszał się z prędkością 3 metrów na sekundę. Niezależnie od określonej wielkości, którą obliczasz, proces szacowania pochodnej jest taki sam.